미적분Ⅰ부정적분과 정적분AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

f(x)의 최솟값 조건으로 F(x) 구하기

문제

함수 F(x)=x3+ax2+bx+cF ( x ) = x ^{3} + ax ^{2} + bx + c가 함수 f(x)f ( x )의 한 부정적분이다. 함수 f(x)f ( x )가 x=1x = 1에서 최솟값 −3- 3을 가질 때, F(2)−F(0)F ( 2 ) - F ( 0 )의 값은? (단, aa, bb, cc는 상수이다.) [4점] ①−6- 6②−4- 4③−2- 2④22⑤44

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②

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해설

F(x)F ( x )가 f(x)f ( x )의 한 부정적분이므로 f(x)=F′(x)=3x2+2ax+b=3(x+a3)2−a23+b\displaystyle f ( x ) = F' ( x ) = 3 x ^{2} + 2 ax + b = 3 \left( x + \frac{a}{3} \right) ^{2} - \frac{a ^{2}}{3} + b f(x)f ( x )가 x=1x = 1에서 최솟값을 가지므로 −a3=1\displaystyle - \frac{a}{3} = 1, a=−3a = - 3 f(1)=3−6+b=−3f ( 1 ) = 3 - 6 + b = - 3에서 b=0b = 0 F(x)=x3−3x2+cF ( x ) = x ^{3} - 3 x ^{2} + c 따라서 F(2)−F(0)=(8−12+c)−c=−4F ( 2 ) - F ( 0 ) = ( 8 - 12 + c ) - c = - 4 ②

태그

#부정적분#부정적분의 뜻#이차함수#최솟값

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