공통수학1이차방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 양의 실근을 갖게 하는 정수 계수의 최솟값

문제

xx에 대한 이차방정식 x2−10x−5=ax+bx ^{2} - 10 x - 5 = ax + b가 두 양의 실근 α,β\alpha , \beta를 갖도록 하는 정수 aa의 최솟값을 pp라 하고, 그때의 α2+β2\alpha ^{2} + \beta ^{2}의 최솟값을 qq라 하자. pp와 qq의 곱 pqpq의 값은? ①−9- 9②−10- 10③−5- 5④−92\displaystyle - \frac{9}{2}⑤−18- 18

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④ −92\displaystyle - \frac{9}{2}

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해설

x2−10x−5=ax+bx ^{2} - 10 x - 5 = ax + b에서 x2−(a+10)x−(b+5)=0x ^{2} - ( a + 10 ) x - ( b + 5 ) = 0 ⋯⋯ ㉠ 근과 계수와의 관계에서 α+β=a+10\alpha + \beta = a + 10 α\alpha, β\beta가 양수이므로 a+10>0a + 10 > 0 즉, a>−10a > - 10 ∴ 정수 aa의 최솟값 p=p =−9- 9이다. 이때, ㉠은 x2−x−(b+5)=0x ^{2} - x - ( b + 5 ) = 0이고 D=1+4(b+5)≥0D = 1 + 4 ( b + 5 ) \geq 0에서 (b+5)≥−14\displaystyle ( b + 5 ) \geq - \frac{1}{4} 근과 계수와의 관계에서 αβ=−(b+5)\alpha \beta = - ( b + 5 )이므로 α2+β2\alpha ^{2} + \beta ^{2}=(α+β)2−2αβ= ( \alpha + \beta ) ^{2} - 2 \alpha \beta =1−2αβ= 1 - 2 \alpha \beta =1+= 1 +2(b+5)2 ( b + 5 ) ≥1+2⋅(−14)\displaystyle \geq 1 + 2 \cdot \left( - \frac{1}{4} \right) =12\displaystyle = \frac{1}{2} ∴ α2+β2\alpha ^{2} + \beta ^{2}의 최솟값 q=12\displaystyle q = \frac{1}{2} ∴ pq=−92\displaystyle pq = - \frac{9}{2}

태그

#근과 계수의 관계#판별식#최솟값

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