두 원 위 벡터 내적

조건 (가)에서 $\vec{\mathrm{OB}} \cdot \vec{\mathrm{OP}} = 3 \vec{\mathrm{OA}} \cdot \vec{\mathrm{OP}}$ ⇒ $\mathrm{( \vec{OB} - 3 \vec{OA} ) \bullet \vec{OP} = 0}$ 여기서 $\mathrm{3 \vec{OA} = \vec{OA}'}$인 점 $\mathrm{A'}$을 잡으면 $\mathrm{\vec{A}' B \cdot \vec{OP} = 0}$이므로 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{\mathrm{A}' B}$의 중점을 지나고 벡터 $\mathrm{\vec{A}' B}$에 수직인 직선위의 점이다. 또는 점 $\mathrm{P}$는 $\mathrm{\angle} AOB$이등분선 위의 점이라고 볼 수도 있다. 즉, $\mathrm{\vec{OP} = \mathit{t} \mathrm{\left( 3 \vec{OA} + \vec{OB} ) \right.}}$(단, $t$는 실수) 조건 (나)에서 $\left| \vec{\mathrm{PA}} \right| ^{2} + \left| \vec{\mathrm{PB}} \right| ^{2} = 20$ ⇒ $\mathrm{\left| \vec{OA} - \vec{OP} \right| ^{2} + \left| \vec{OB} - \vec{OP} \right| ^{2} = 20}$ ⇒ $\mathrm{\left| \vec{OA} \right| ^{2} + \left| \vec{OB} \right| ^{2} + 2 \left| \vec{OP} \right| ^{2} - 2 \vec{OP} \bullet ( \vec{OA} + \vec{OB} ) = 20}$ ⇒ $\mathrm{10 + 2 \left| \vec{OP} \right| ^{2} - 2 \vec{OP} \bullet ( \vec{OA} + \vec{OB} ) = 20}$ ⇒ $\mathrm{\left| \vec{OP} \right| ^{2} - \vec{OP} \bullet ( \vec{OA} + \vec{OB} ) = 5}$ 한편 $\mathrm{\vec{PA} \bullet \vec{PB} = ( \vec{OA} - \vec{OP} ) \bullet ( \vec{OB} - \vec{OP} )}$ $\mathrm{= \vec{OA} \bullet \vec{OB} - \vec{OP} \bullet ( \vec{OA} + \vec{OB} ) + \left| \vec{OP} \right| ^{2}}$ $\mathrm{= \vec{OA} \bullet \vec{OB} + 5}$ $= 3 \cos \theta + 5$ (단, $\theta$는 $\mathrm{\vec{OA}}$와 $\mathrm{\vec{OB}}$가 이루는 각의 크기) 이므로 $\mathrm{\vec{PA} \cdot \vec{PB}}$가 최소가 될 때는 $\mathrm{\vec{OA}}$와 $\mathrm{\vec{OB}}$가 서로 반대방향일 때 (즉, $\theta = \pi$)임을 알 수 있다. 따라서 아래 그림과 같이 점 $\mathrm{A ,}$$\mathrm{B}$를 설정하면

$\mathrm{\left| \vec{PA} \right| ^{2} + \left| \vec{PB} \right| ^{2} = 20}$에서 $( 1 + k ^{2} ) + ( 9 + k ^{2} ) = 20$ $\therefore k ^{2} = 5$ 따라서 $m + k ^{2} = 7$이다.