두 실근 제곱합 최솟값

[출제의도] 이차방정식을 이용하여 이차함수의 최솟값을 구할 수 있다. $a$가 실수이고, 방정식 $x ^{2} - 2 ax + 15 - 2 a ^{2} = 0$이 실근을 가지므로 $\displaystyle \begin{aligned} \frac{D}{4} = & a ^{2} - ( 15 - 2 a ^{2} ) \end{aligned}$$= 3 a ^{2} - 15 \geq 0$ $\therefore a ^{2} \geq 5$ … ㉠ 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha + \beta = 2 a , \alpha \beta = 15 - 2 a ^{2}$ … ㉡ ㉠, ㉡ 으로부터 $\alpha ^{2} + \beta ^{2} = \left( \alpha + \beta \right) ^{2} - 2 \alpha \beta$ $= 4 a ^{2} - 30 + 4 a ^{2} ( \because \text{㉡} )$ $= 8 a ^{2} - 30$$\geq 10 ( \because \text{㉠} )$ (단, 등호는 $a ^{2} = 5$일 때 성립) 따라서, $\alpha ^{2} + \beta ^{2}$의 최솟값은 $10$이다.