두 포물선과 공통접선

[출제의도] 이차함수의 그래프와 직선이 만나는 점을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 이차함수 $y = f ( x )$의 그래프가 일차함수 $y = h ( x )$의 그래프와 $x = \alpha$에서 접하므로 이차방정식 $f ( x ) - h ( x ) = 0$은 $x = \alpha$인 중근을 가진다. 이차함수 $y = f ( x )$의 $x ^{2}$의 계수는 $1$이므로 $f ( x ) - h ( x ) = ( x - \alpha ) ^{2}$ 따라서 $f ( x ) = ( x - \alpha ) ^{2} + h ( x )$ 같은 방법으로 $g ( x ) = 4 ( x - \beta ) ^{2} + h ( x )$ $\beta = 2 \alpha$이고 두 곡선 $y = f ( x )$, $y = g ( x )$가 만나는 점의 $x$좌표를 $t$라 하면 $f ( t ) = g ( t )$이므로 $( t - \alpha ) ^{2} + h ( t ) = 4 ( t - 2 \alpha ) ^{2} + h ( t )$ $3 t ^{2} - 14 \alpha t + 15 \alpha ^{2} = 0$ $( 3 t - 5 \alpha ) ( t - 3 \alpha ) = 0$ 이때 $\alpha < t < 2 \alpha$이므로 $\displaystyle t = \frac{5}{3} \alpha$ 따라서 $\displaystyle \frac{t}{\alpha} = \frac{5}{3}$