두 나눗셈의 나머지로 계수 구하기

$x ^{2} + x + 1$로 나눈 몫을 $x + p$ ($p$는 상수)라 하면 $x ^{3} + ax ^{2} + bx + c = ( x ^{2} + x + 1 ) ( x + p ) + 4 x + 1$ $= x ^{3} + ( p + 1 ) x ^{2} + ( p + 5 ) x + ( p + 1 )$ $a = p + 1$, $b = p + 5$, $c = p + 1$ …… ㉠ $x ^{2} - x + 1$로 나눈 몫을 $x + q$ ($q$는 상수)라 하면 $x ^{3} + ax ^{2} + bx + c = ( x ^{2} - x + 1 ) ( x + q ) - 2 x - 1$ $= x ^{3} + ( q - 1 ) x ^{2} + ( - q - 1 ) x + ( q - 1 )$ $a = q - 1$, $b = - q - 1$, $c = q - 1$ …… ㉡ ㉠, ㉡에서 $p + 1 = q - 1$, $p + 5 = - q - 1$이므로 $p = - 4$, $q = - 2$ $a = - 3$, $b = 1$, $c = - 3$ 따라서 $a + b + c = - 5$