두 내분점 사이 거리의 최솟값

실마리: 점 $\mathrm{P} ( p , 0 )$으로 두 점 $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$의 좌표를 나타내면 $y$좌표는 $p$와 관계없이 일정하다. $\mathrm{P} ( p , 0 )$이라 하면 점 $\mathrm{Q}$는 선분 $\mathrm{AP}$를 $1 : 3$으로 내분하는 점이므로 $\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{1 \times p + 3 \times 2}{4} , \frac{1 \times 0 + 3 \times 6}{4} \right)$, 즉 $\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{p + 6}{4} \frac{, 9}{2} \right)$ 점 $\mathrm{R}$는 선분 $\mathrm{BP}$를 $3 : 1$로 내분하는 점이므로 $\displaystyle \mathrm{R} \left( \frac{3 \times p + 1 \times 10}{4} , \frac{3 \times 0 + 1 \times 2}{4} \right)$, 즉 $\displaystyle \mathrm{R} \left( \frac{3 p + 10}{4} \frac{, 1}{2} \right)$ 따라서 점 $\mathrm{P}$가 움직여도 점 $\mathrm{Q}$는 직선 $\displaystyle y = \frac{9}{2}$ 위에, 점 $\mathrm{R}$는 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2}$ 위에 있다. $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}} ^{2} = \left( \frac{3 p + 10}{4} - \frac{p + 6}{4} \right) ^{2} + \left( \frac{9}{2} - \frac{1}{2} \right) ^{2} = \left( \frac{p + 2}{2} \right) ^{2} + 16 \geq 16$ 등호는 $p = - 2$, 즉 두 점 $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$의 $x$좌표가 같아 선분 $\mathrm{QR}$가 $y$축에 평행할 때 성립한다. 이때 $\mathrm{P} ( - 2 , 0 )$, $\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{1 , 9}{2} \right)$, $\displaystyle \mathrm{R} \left( \frac{1 , 1}{2} \right)$이다. 따라서 선분 $\mathrm{QR}$의 길이의 최솟값은 두 평행선 사이의 거리 $\displaystyle \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = 4$이다.