두 문자 이차식의 완전제곱식

주어진 식을 $x$에 대하여 내림차순으로 정리하면 $x ^{2} + ( 6 y + 4 ) x + ( ay ^{2} + by + 4 )$ 이 식이 $x$에 대한 완전제곱식이 되려면 이차방정식 $x ^{2} + ( 6 y + 4 ) x + ( ay ^{2} + by + 4 ) = 0$이 중근을 가져야 한다. 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = ( 3 y + 2 ) ^{2} - ( ay ^{2} + by + 4 ) = 0$ $( 9 - a ) y ^{2} + ( 12 - b ) y = 0$ 이 등식이 $y$의 값에 관계없이 항상 성립해야 하므로 $9 - a = 0 , 12 - b = 0$에서 $a = 9 , b = 12$ 따라서 $a + b = 21$