두 지수곡선과 직선

곡선 $y = 2 ^{x - 1} + 1$은 곡선 $y = 2 ^{x}$을 $x$축의 방향으로 $1$만큼, $y$축의 방향으로 $1$만큼 평행이동한 곡선이다. 그러므로 곡선 $y = 2 ^{x}$ 위의 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$를 $x$축의 방향으로 $1$만큼, $y$축의 방향으로 $1$만큼 평행이동한 점을 각각 ${\mathrm{A}}'$, ${\mathrm{B}}'$이라 하면 두 점 ${\mathrm{A}}'$, ${\mathrm{B}}'$은 곡선 $y = 2 ^{x - 1} + 1$ 위에 있다. 또한 두 직선 ${\mathrm{AA}}'$, ${\mathrm{BB}}'$의 기울기가 모두 $1$이므로 두 점 ${\mathrm{A}}'$, ${\mathrm{B}}'$은 모두 직선 $l$ 위에 있다. 그러므로 두 점 ${\mathrm{A}}'$, ${\mathrm{B}}'$은 각각 점 ${\mathrm{C}}$, 점 ${\mathrm{D}}$와 일치하고, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = {\overline{\mathrm{BD}}} = \sqrt{1 ^{2} + 1 ^{2}} = \sqrt{2}$ 점 ${\mathrm{B}}$가 선분 ${\mathrm{AD}}$를 $3 : 1$로 내분하므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} : {\overline{\mathrm{BD}}} = 3 : 1$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 3 {\overline{\mathrm{BD}}} = 3 \sqrt{2}$ 그러므로 점 ${\mathrm{B}}$의 좌표를 $\left( k , 2 ^{k} \right)$이라 하면 점 ${\mathrm{A}}$의 좌표는 $\left( k - 3 , 2 ^{k} - 3 \right)$이다. 점 ${\mathrm{A}}$는 곡선 $y = 2 ^{x}$ 위에 있으므로 $2 ^{k - 3} = 2 ^{k} - 3$, $\displaystyle 2 ^{k} = \frac{24}{7}$에서 $\displaystyle k = \log _{2} \frac{24}{7}$ 따라서 점 ${\mathrm{B}}$의 $x$좌표는 $\displaystyle \log _{2} \frac{24}{7}$