두 접선과 포물선으로 둘러싸인 넓이

접점을 $( t , t ^{2} )$이라 하면 $y = x ^{2}$에서 $y' = 2 x$이므로 접선의 방정식은 $y = 2 t ( x - t ) + t ^{2}$ ⋯⋯ ㉠ ㉠이 점 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} , - 2 \right)$를 지나므로 $\displaystyle - 2 = 2 t \left( \frac{1}{2} - t \right) + t ^{2}$ $t ^{2} - t - 2 = 0$ ∴ $t = - 1$ 또는 $t = 2$ 따라서 접점의 좌표는 $( - 1 , 1 )$, $( 2 , 4 )$이다. $\mathrm{A}$$( - 1 , 1 )$, $\mathrm{B}$$( 2 , 4 )$라 할 때, 직선 $\mathrm{AB}$의 방정식은 $y = x + 2$ 점 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} , - 2 \right)$에서 직선 $\mathrm{AB}$에 이르는 거리는 $\displaystyle \frac{\left| \frac{1}{2} + 2 + 2 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}}} = \frac{9 \sqrt{2}}{4}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$$\displaystyle = \sqrt{3 ^{2} + 3 ^{2}} = 3 \sqrt{2}$이다. ∴ (△$\mathrm{PAB}$의 넓이)$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 3 \sqrt{2} \times \frac{9 \sqrt{2}}{4} = \frac{27}{4}$ 직선 $\mathrm{AB}$와 곡선 $y = x ^{2}$로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{6} ( 2 - ( - 1 ) ) ^{3} = \frac{9}{2}$ 따라서 구하는 넓이는 $\displaystyle \frac{27}{4} - \frac{9}{2} = \frac{9}{4}$ [참고] 이차함수 $y = ax ^{2} + bx + c$와 직선 $l$이 그림과 같이 서로 다른 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$에서 만나고 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 $x$좌표가 각각 $\alpha$, $\beta$($\alpha < \beta$)일 때, 곡선 $y = ax ^{2} + bx + c$과 직선 $l$로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle \frac{| a |}{6} ( \beta - \alpha ) ^{3}$이다.