두 이차방정식의 근 비교

[출제의도] 이차방정식의 근의 성질을 이용하여 추론하기 ㄱ. 이차방정식 $ax ^{2} + bx + c = 0$ 의 두 근을 $\alpha , \beta$ 이차방정식 $ax ^{2} + 2 bx + c = 0$ 의 두 근을 $\alpha' , \beta'$라 하면 $\displaystyle \alpha \beta = \frac{c}{a}$, $\displaystyle \alpha' \beta' = \frac{c}{a}$ 이므로 $\alpha \beta = \alpha' \beta'$이다. (참) ㄴ.실수인 공통근 $\alpha$가 존재한다고 하자. $a \alpha ^{2} + b \alpha + c = 0$ …①, $a \alpha ^{2} + 2 b \alpha + c = 0$ … ② $\text{ ②} - \text{ ①}$하면$b \alpha = 0$이고$ac > 0$이므로$\alpha \ne 0$ 따라서 $b = 0$ 이다. $\displaystyle \alpha ^{2} = - \frac{c}{a}$이고 $ac > 0$ 이므로 $\alpha$ 가 실수라는 조건에 모순이 된다. (참) ㄷ.$ax ^{2} + 2 bx + c = 0$이 허근을 가지면 판별식 $4 b ^{2} - 4 ac < 0$ 이므로 $ax ^{2} + bx + c = 0$의 판별식 $b ^{2} - 4 ac \leq 4 b ^{2} - 4 ac < 0$ 이다. (참)