공통수학1나머지정리와 인수분해AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 계수의 합 조건으로 다항식을 정하고 계수 구하기

문제

다항식 (x2+px+q)3( x ^{2} + px + q ) ^{3}을 전개하여 정리하면 a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6a _{0} + a _{1} x + a _{2} x ^{2} + \cdots + a _{6} x ^{6} 이고 a0+a1+a2+⋯+a6=8a _{0} + a _{1} + a _{2} + \cdots + a _{6} = 8, a0−a1+a2−⋯+a6=64a _{0} - a _{1} + a _{2} - \cdots + a _{6} = 64 일 때, a2+a4a _{2} + a _{4}의 값을 구하시오. (단, pp, qq는 실수) [4점]

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해설

f(x)=(x2+px+q)3f ( x ) = ( x ^{2} + px + q ) ^{3}이라 하면 f(1)=(1+p+q)3=8f ( 1 ) = ( 1 + p + q ) ^{3} = 8에서 1+p+q=21 + p + q = 2 f(−1)=(1−p+q)3=64f ( - 1 ) = ( 1 - p + q ) ^{3} = 64에서 1−p+q=41 - p + q = 4 두 식을 더하면 2+2q=62 + 2 q = 6, q=2q = 2이고 p=−1p = - 1 f(1)+f(−1)f ( 1 ) + f ( - 1 )에서 2(a0+a2+a4+a6)=722 ( a _{0} + a _{2} + a _{4} + a _{6} ) = 72 a0+a2+a4+a6=36a _{0} + a _{2} + a _{4} + a _{6} = 36 a0=f(0)=q3=8a _{0} = f ( 0 ) = q ^{3} = 8이고, a6a _{6}은 x6x ^{6}의 계수이므로 a6=1a _{6} = 1 따라서 a2+a4=36−8−1=27a _{2} + a _{4} = 36 - 8 - 1 = 27

태그

#항등식#계수의 합#짝수차 계수#거꾸로 추론

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