두 구와 최단 경로

두 개의 구 $C _{1}$, $C _{2}$의 중심 좌표를 각각 $\mathrm{C} _{1} \mathit{\left( 3 , 4 , 1 \right)}$, $\mathrm{C} _{2} \mathit{\left( 3 , 8 , 5 \right)}$라 하자. 다음 그림에서 양의 $z$축은 $xy$평면에 수직인 방향이다.

두 개의 구 $C _{1}$, $C _{2}$를 각각 $zx$평면, $yz$평면에 대칭시킨 것을 $C _{1} {'}$, $C _{2} {'}$라 하면 이 두 개의 구의 중심 좌표는 각각 $\mathrm{C} _{1}' \mathit{\left( 3 , - 4 , 1 \right)}$, $\mathrm{C} _{2}' \mathit{\left( - 3 , 8 , 5 \right)}$ 이다. 이때 직선 $\mathrm{C} _{1} {'} C _{2} {'}$이 두 개의 구 $C _{1} {'}$, $C _{2} {'}$와 만나는 점이 $\mathrm{P} _{1}$, $\mathrm{Q} _{1}$이고 $zx$평면과 만나는 점이 $\mathrm{R} _{1}$, $yz$평면과 만나는 점이 $\mathrm{S} _{1}$이라 할 수 있으며, 선분 ${\mathrm{R}} \mathit{_{1}} {\mathrm{S}} \mathit{_{1}}$ 위의 점 ${\mathrm{X}}$에 대하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{P} \mathit{_{1}} \mathrm{R} \mathit{_{1}}}} + {\overline{\mathrm{R} \mathit{_{1}} \mathrm{X}}} = {\overline{\mathrm{XS} \mathit{_{1}}}} + {\overline{\mathrm{S} \mathit{_{1}} \mathrm{Q} \mathit{_{1}}}}$가 성립하므로 점 $\mathrm{X}$는 선분 $\mathrm{P} _{1} Q _{1}$의 중점이다.

선분 $\mathrm{C} _{1} {'} C _{2} {'}$의 길이는 $14$이며 두 개의 구 $C _{1} {'}$, $C _{2} {'}$의 반지름의 길이가 각각 $1$, $2$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{C _{1}' P _{1}}} = 1$, $\displaystyle {\mathrm{\overline{C _{2} {'} Q _{1}}} = 2}$ $\therefore$$\displaystyle \mathrm{\overline{P _{1} Q _{1}}} \mathit{=} 11$ 따라서 $\displaystyle {\mathrm{\overline{C _{1} {'} X}} = \frac{13}{2}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{C _{2}' X}} \mathit{=} \frac{15}{2}$이고 점 $\mathrm{X}$는 선분 $\mathrm{C} _{1}' C _{2}'$를 $13 : 15$로 내분하므로 점 $\mathrm{X}$의 $x$좌표는 $\displaystyle \frac{13 \times ( - 3 ) + 15 \times 3}{13 + 15} = \frac{3}{14}$ $p = 14$, $q = 3$이므로 $p + q = 17$