두 그래프 사이 넓이

$f \left( x \right)$$= \left| x ^{2} - 3 \right| - 2 x$ $\displaystyle = {\begin{cases} x ^{2} - 2 x - 3 & & ( x \leq - \sqrt{3} \text{또는} x \geq \sqrt{3} ) \\ & & \\ - x ^{2} - 2 x + 3 & & ( - \sqrt{3} < x < \sqrt{3} ) \end{cases}}$ $x _{1}$, $x _{4}$는 이차방정식 $x ^{2} - 2 x - 3 = - x + t$의 두 근이므로 근과 계수와의 관계에 의하여 $x _{1} + x _{4} = 1$, $x _{1} x _{4} = - t - 3$ $x _{4} - x _{1} = 5$이므로 $x _{1} = - 2$, $x _{4} = 3$ $x _{1} x _{4} = - t - 3 = - 6$, $t = 3$ $x _{2}$, $x _{3}$은 이차방정식 $- x ^{2} - 2 x + 3 = - x + 3$의 두 근이므로 $x _{2} = - 1$, $x _{3} = 0$

닫힌구간 $[ 0 , 3 ]$에서 두 함수 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle \int _{0} ^{3} {} \left| f \left( x \right) - g \left( x \right) \right| dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{\sqrt{3}} {} \left\{ \left( - x + 3 \right) - \left( - x ^{2} - 2 x + 3 \right) \right\} dx$ $\displaystyle + \int _{\sqrt{3}} ^{3} {} \left\{ \left( - x + 3 \right) - \left( x ^{2} - 2 x - 3 \right) \right\} _{dx}$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{3} x ^{3} + \frac{1}{2} x ^{2} \end{array} \right] _{0} ^{\sqrt{3}} + \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - \frac{1}{3} x ^{3} + \frac{1}{2} x ^{2} + 6 x \end{array} \right] _{\sqrt{3}} ^{3}$ $\displaystyle = \frac{27}{2} - 4 \sqrt{3}$ 따라서 $\displaystyle p \times q = \frac{27}{2} \times 4 = 54$