두 근이 모두 양수일 때 제곱의 합의 최솟값

판별식을 $D$라 하면 (ⅰ) $\displaystyle \frac{D}{4} = k ^{2} - ( 2 k + 3 ) = ( k + 1 ) ( k - 3 ) \geq 0$에서 $k \leq - 1$ 또는 $k \geq 3$ (ⅱ) $\alpha + \beta = 2 k > 0$에서 $k > 0$ (ⅲ) $\alpha \beta = 2 k + 3 > 0$에서 $\displaystyle k > - \frac{3}{2}$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 $k \geq 3$ $\alpha ^{2} + \beta ^{2} = ( \alpha + \beta ) ^{2} - 2 \alpha \beta = 4 k ^{2} - 2 ( 2 k + 3 )$ $\displaystyle = 4 k ^{2} - 4 k - 6 = 4 \left( k - \frac{1}{2} \right) ^{2} - 7$ $k \geq 3$에서 이 값은 $k$가 커질수록 증가하므로 $k = 3$일 때 최소이다. 따라서 최솟값은 $4 \cdot 9 - 12 - 6 = 18$이다. ④