두 근호의 합으로 된 함수의 최대·최소

$x + 3 \geq 0$, $5 - x \geq 0$에서 함수 $f ( x )$의 정의역은 $\left\{ x \left| - 3 \leq x \leq 5 \right\} \right.$이다. 정의역의 모든 $x$에 대하여 $f ( x ) > 0$이므로 $f ( x )$가 최대·최소일 때 $\left\{ f ( x ) \right\} ^{2}$도 최대·최소이다. $\displaystyle \left\{ f ( x ) \right\} ^{2} = ( x + 3 ) + ( 5 - x ) + 2 \sqrt{( x + 3 ) ( 5 - x )} = 8 + 2 \sqrt{( x + 3 ) ( 5 - x )}$ $g ( x ) = ( x + 3 ) ( 5 - x )$라 하면 $g ( x ) = - ( x - 1 ) ^{2} + 16$이고 $- 3 \leq x \leq 5$에서 $x = 1$일 때 최댓값 $g ( 1 ) = 16$, $x = - 3$ 또는 $x = 5$일 때 최솟값 $g ( - 3 ) = g ( 5 ) = 0$을 갖는다. 즉 $0 \leq g ( x ) \leq 16$이므로 $8 \leq \left\{ f ( x ) \right\} ^{2} \leq 16$ 따라서 $x = 1$일 때 최댓값 $\displaystyle M = \sqrt{16} = 4$, $x = - 3$ 또는 $x = 5$일 때 최솟값 $\displaystyle m = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$이므로 $M ^{2} + m ^{2} = 16 + 8 = 24$