두 등차수열의 합의 관계

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$, $\left\{ b _{n} \right\}$이 등차수열이므로 수열 $\left\{ a _{n} + b _{n} \right\}$, $\left\{ a _{n} - b _{n} \right\}$도 등차수열이다. $\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{n} ( a _{k} + b _{k} ) = \sum\limits _{k=1} ^{n} a _{k} + \sum\limits _{k=1} ^{n} b _{k} = S _{n} + T _{n}$, $\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{n} ( a _{k} - b _{k} ) = \sum\limits _{k=1} ^{n} a _{k} - \sum\limits _{k=1} ^{n} b _{k} = S _{n} - T _{n}$이고 $S _{n} ^{2} - T _{n} ^{2} = ( S _{n} + T _{n} ) ( S _{n} - T _{n} )$이므로 $( S _{n} + T _{n} ) ( S _{n} - T _{n} )$$= n ^{2} ( n + 1 )$ …… ㉠ 등차수열의 공차가 $0$일 때, 이 수열의 합은 $n$에 대한 $1$차식이고, 등차수열의 공차가 $0$이 아닐 때, 이 수열의 합은 상수항이 없는 $n$에 대한 $2$차식이다. 그런데 두 등차수열의 합 $S _{n} + T _{n}$, $S _{n} - T _{n}$을 곱한 값이 $n ^{2} ( n + 1 )$이므로 수열 $\left\{ a _{n} + b _{n} \right\}$의 공차는 $0$이다. (∵ 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$, $\left\{ b _{n} \right\}$의 공차는 서로 다른 부호) 즉, $a _{n} + b _{n}$은 일정한 값을 갖는다. ㉠의 양변에 $n = 1$을 대입하면 $( S _{1} + T _{1} ) ( S _{1} - T _{1} )$$= ( a _{1} + b _{1} ) ( a _{1} - b _{1} )$$= 2$이고 $a _{1} - b _{1} = 1$이므로 $a _{1} + b _{1} = 2$ $\therefore a _{n} + b _{n} = 2$, $S _{n} + T _{n} = 2 n$ …… ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하여 정리하면 $\displaystyle S _{n} - T _{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ $\therefore a _{n} - b _{n} = n$ $a _{20} - b _{20} = 20$, $a _{20} + a _{20} = 2$이므로 $\displaystyle a _{20} b _{20} = \frac{2 ^{2} - 20 ^{2}}{4} = - 99$