대수삼각함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 배 사이 거리

문제

그림과 같이 갑이 탄 배는 해변 A 지점에서 출발하여 600m 떨어진 등대 B지점을 향해 속력 100m/분으로 직선 경로를 따라서 항해하고, 을이 탄 배는 섬 C지점에서 출발하여 800m 떨어진 A 지점을 향해 속력 200m/분으로 직선 경로를 따라서 항해하고 있다. 동시에 출발한 갑, 을이 탄 두 배가 지나는 지점을 잇는 선분이 B지점과 C지점을 잇는 선분과 평행이 되는 순간의 두 배 사이의 거리는 a13\displaystyle a \sqrt{13}m이다. 이때, aa의 값을 구하시오. (단, ∠A=π3\displaystyle \angle A = \frac{\pi}{3}이고, 두 배의 크기는 무시한다.) [4점]

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80

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해설

[출제의도] 코사인법칙을 이용하여 변의 길이 구하기

코사인 법칙을 이용하면 BC2‾=6002+8002−2×600×800×cos⁡π3=2002×13∴BC‾=20013\displaystyle \begin{aligned} \overline{BC ^{2}} = 600 ^{2} + 800 ^{2} - 2 \times 600 \times 800 \times \cos \frac{\pi}{3} = 200 ^{2} \times 13 \\ \therefore \overline{BC} = 200 \sqrt{13} \end{aligned} tt초 후 갑이 타고 있는 배의 위치를 점 P, 을이 타고 있는 배의 위치를 점 QQ라고 하자. 갑이 탄 배의 속도는 100m/분이므로 AP‾=100t\displaystyle \overline{AP} = 100 t 을이 탄 배의 속도는 200m/분이므로 CQ‾=200t\displaystyle \overline{CQ} = 200 t AQ‾=800−200t\displaystyle \overline{AQ} = 800 - 200 t BC‾와PQ‾\displaystyle \overline{BC} \text{와} \overline{PQ}가 평행하므로 △ABC와△APQ\triangle ABC \text{와} \triangle APQ는 닮음이다. 100t:600=(800−200t):800∴t=125AB‾=600,AP‾=240이므로AB‾:AP‾=5:25:2=20013:PQ‾,PQ‾=8013∴a=80\displaystyle \begin{aligned} 100 t : 600 = \left( 800 - 200 t \right) : 800 \therefore t = \frac{12}{5} \\ \overline{AB} = 600 , \overline{AP} = 240 \text{이므로} \overline{AB} : \overline{AP} = 5 : 2 \\ 5 : 2 = 200 \sqrt{13} : \overline{PQ} , \overline{PQ} = 80 \sqrt{13} \\ \therefore a = 80 \end{aligned}

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#코사인법칙#닮음#실생활

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