도함수 곱의 적분 극값

[출제의도] 정적분을 이용하여 추론하기 $g \left( x \right)$$\displaystyle = \int _{0} ^{x} {} \left\{ f' \left( t + a \right) \times f' \left( t - a \right) \right\} dt$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $g' \left( x \right)$$= f' \left( x + a \right) \times f' \left( x - a \right)$ $f' \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 $3$인 이차함수이므로 방정식 $f' \left( x \right)$$= 0$의 서로 다른 실근의 개수는 $0$ 또는 $1$ 또는 $2$이다. (ⅰ) 방정식 $f' \left( x \right)$$= 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $0$ 또는 $1$인 경우 모든 실수 $x$에 대하여 $f' \left( x \right) \geq 0$이므로 $g' \left( x \right)$$= f' \left( x + a \right) \times f' \left( x - a \right)$$\geq 0$ 함수 $g \left( x \right)$가 극값을 갖지 않으므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) 방정식 $f' \left( x \right)$$= 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$인 경우 $f' \left( x \right)$$= 3 \left( x - \alpha \right) \left( x - \beta \right)$($\alpha < \beta$)라 하자. (a) $\alpha + a < \beta \mathit{-} a$일 때 두 함수 $y$$= f' \left( x + a \right)$, $y$$= f' \left( x - a \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

함수 $g \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면

함수 $g \left( x \right)$는 $x$$= \alpha \mathit{-} a$, $x$$= \alpha + a$, $x$$= \mathit{\beta} - a$, $x$$= \beta + a$에서 극값을 가지므로 조건을 만족시키지 않는다. (b) $\alpha + a$$= \beta \mathit{-} a$일 때 두 함수 $y$$= f' \left( x + a \right)$, $y$$= f' \left( x - a \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

함수 $g \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면

함수 $g \left( x \right)$는 $x$$= \alpha - a$, $x$$= \beta + a$에서만 극값을 가지므로 조건에 의하여 $\left( \beta + a \right) - \left( \alpha - a \right)$$\displaystyle = \frac{13}{2} - \frac{1}{2}$$= 6$ $\beta - \alpha$$= 2 a$이므로 $\left( \beta + a \right) - \left( \alpha - a \right)$$= \left( \beta - \alpha \right) + 2 a$$= 4 a$ $4 a$$= 6$에서 $a$$\displaystyle = \frac{3}{2}$ 그러므로 $\displaystyle \alpha - \frac{3}{2}$$\displaystyle = \frac{1}{2}$에서 $\alpha$$= 2$이고, $\displaystyle \beta + \frac{3}{2}$$\displaystyle = \frac{13}{2}$에서 $\beta$$= 5$이다. (c) $\beta - a < \alpha + a$일 때 두 함수 $y$$= f' \left( x + a \right)$, $y$$= f' \left( x - a \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

함수 $g \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면

함수 $g \left( x \right)$는 $x$$= \alpha \mathit{-} a$, $x$$= \beta - a$, $x$$= \mathit{\alpha} + a$, $x$$= \beta + a$에서 극값을 가지므로 조건을 만족시키지 않는다. 그러므로 $f' \left( x \right)$$= 3 \left( x - 2 \right) \left( x - 5 \right)$ $f \left( x \right)$$\displaystyle = \int _{} ^{} {} \left( 3 x ^{2} - 21 x + 30 \right) dx$ $\displaystyle = x ^{3} - \frac{21}{2} x ^{2} + 30 x + C$ ($C$는 적분상수) $f \left( 0 \right)$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{1}{2}$이므로 $f \left( x \right)$$\displaystyle = x ^{3} - \frac{21}{2} x ^{2} + 30 x - \frac{1}{2}$ 따라서 $a \times f \left( 1 \right)$$\displaystyle = \frac{3}{2} \times \left( 1 - \frac{21}{2} + 30 - \frac{1}{2} \right)$$= 30$