대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

등차수열과 지수 최솟값

문제

양수 x,y,zx , y , z가 이 순서로 등차수열을 이루고 a1x=b1y=c1z\displaystyle a ^{\frac{1}{x}} = b ^{\frac{1}{y}} = c ^{\frac{1}{z}}일 때, 4a+c3b\displaystyle \frac{4 a + c}{3 b}의 최소값은? (단, aa, bb, cc는 11이 아닌 양수이다.) [4점] ①12\displaystyle \frac{1}{2}②23\displaystyle \frac{2}{3}③11④43\displaystyle \frac{4}{3}⑤32\displaystyle \frac{3}{2}

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④

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해설

[출제의도]수열의 성질을 이해하고 최소값 구하기 a1x=b1y=c1z=k\displaystyle a ^{\frac{1}{x}} = b ^{\frac{1}{y}} = c ^{\frac{1}{z}} = k에서 a=kx,b=ky,c=kza = k ^{x} , b = k ^{y} , c = k ^{z} x,y,zx , y , z가 등차수열이므로, a,b,ca , b , c는 등비수열을 이룬다. b2=acb ^{2} = ac, 4a+c3b≥24ac9b2=43\displaystyle \frac{4 a + c}{3 b} \geq 2 \sqrt{\frac{4 ac}{9 b ^{2}}} = \frac{4}{3} (단, 등호는 4a3b=c3b\displaystyle \frac{4 a}{3 b} = \frac{c}{3 b}일때 성립한다.)

태그

#등차수열#등비수열#산술기하평균

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