등차수열과 절댓값

등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항을 $a$라 하자. 조건 (가)에 의하여 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{2 m + 1} a _{k}$$\displaystyle = \frac{\left( 2 m + 1 \right) \left\{ 2 a + 5 \times \left( 2 m + 1 - 1 \right) \right\}}{2}$ $= ( 2 m + 1 ) ( a + 5 m ) < 0$ $2 m + 1 > 0$이므로 $a + 5 m = a _{m + 1} < 0$ (ⅰ) $a _{m + 1} = - 1$인 경우 $\left| a _{m} \right| + \left| a _{m + 1} \right| + \left| a _{m + 2} \right| = 11$이므로 조건 (나)를 만족시킨다. $a _{m + 1} = - 1$이므로 $a _{m + 6} = 24$, $a _{m + 7} = 29$ $24 < a _{21} < 29$인 $a _{21}$이 존재하지 않는다. (ⅱ) $a _{m + 1} = - 2$인 경우 $\left| a _{m} \right| + \left| a _{m + 1} \right| + \left| a _{m + 2} \right| = 12$이므로 조건 (나)를 만족시킨다. $a _{m + 1} = - 2$이므로 $a _{m + 7} = 28$ 따라서 $m + 7 = 21$이므로 $m = 14$ (ⅲ) $a _{m + 1} \leq - 3$인 경우 $\left| a _{m} \right| + \left| a _{m + 1} \right| + \left| a _{m + 2} \right| \geq 13$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 $m = 14$