등차수열 절댓값

등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차를 $d$라 하면, 임의의 자연수 $m$, $n$ $\left( m < n \right)$에 대하여 $a _{n} = a _{m} + \left( n - m \right) d$ 이므로 $a _{k + 2} = a _{4} + \left( k - 2 \right) d$$\displaystyle = \frac{5}{2} + \left( k - 2 \right) d$ $a _{k + 1} = a _{4} + \left( k - 3 \right) d$$\displaystyle = \frac{5}{2} + \left( k - 3 \right) d$ $a _{k} = a _{4} + \left( k - 4 \right) d$$\displaystyle = \frac{5}{2} + \left( k - 4 \right) d$ 로 놓을 수 있고 조건 (나)에 의하여 $d \ne 0$이다. (ⅰ) $d > 0$일 때 조건 (나)에서 $\left| a _{k + 1} \right| < \left| a _{k + 2} \right| < \left| a _{k} \right|$이므로 수직선에 $a _{k}$, $a _{k+1}$, $a _{k+2}$를 나타내면 다음 그림과 같이 $a _{k+1} < 0$, $a _{k + 1} + a _{k + 2} > 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉠

㉠의 첫 번째 식에서 $a _{k+1}$$\displaystyle = \frac{5}{2} + \left( k - 3 \right) d < 0$, $\displaystyle \left( k - 3 \right) d < - \frac{5}{2}$ 이때 $d > 0$이므로 $k - 3 < 0$, $k < 3$ $k$는 자연수이므로 $1$ 또는 $2$ (a) $k = 1$일 때 ㉠에서 $\displaystyle a _{k + 1} = a _{2} = \frac{5}{2} - 2 d < 0$ $\displaystyle d > \frac{5}{4}$ 또 ㉠에서 $a _{k + 1} + a _{k + 2} = a _{2} + a _{3} = 5 - 3 d > 0$ $\displaystyle d < \frac{5}{3}$ $\therefore$ $\displaystyle \frac{5}{4} < d < \frac{5}{3}$ 이를 만족시키는 정수 $d$는 존재하지 않는다. (b) $k = 2$일 때 ㉠에서 $\displaystyle a _{k + 1} = a _{3} = \frac{5}{2} - d < 0$ $\displaystyle d > \frac{5}{2}$ 또 ㉠에서 $a _{k + 1} + a _{k + 2} = a _{3} + a _{4} = 5 - d > 0$ $d < 5$ $\therefore$ $\displaystyle \frac{5}{2} < d < 5$ $\therefore$ $d = 3$ 또는 $4$ ($\because d$는 정수) (ⅱ) $d < 0$일 때 조건 (나)에서 $\left| a _{k + 1} \right| < \left| a _{k + 2} \right| < \left| a _{k} \right|$이므로 수직선에 $a _{k}$, $a _{k+1}$, $a _{k+2}$를 나타내면 다음 그림과 같이 $a _{k + 1} > 0$, $a _{k + 1} + a _{k + 2} < 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉡

㉡의 두 번째 식에서 $a _{k + 1} + a _{k + 2} = 5 + \left( 2 k - 5 \right) d < 0$, $\left( 2 k - 5 \right) d < - 5$ 이때 $d < 0$이므로 $2 k - 5 > 0$, $\displaystyle k > \frac{5}{2}$ 이고 $k \ne 3$이므로 $k$는 $4$이상의 자연수이다. (a) $k = 4$일 때 ㉡에서 $\displaystyle a _{k + 1} = a _{5} = \frac{5}{2} + d > 0$ $\displaystyle d > - \frac{5}{2}$ 또 ㉡에서 $a _{k + 1} + a _{k + 2} = a _{5} + a _{6} = 5 + 3 d < 0$ $\displaystyle d < - \frac{5}{3}$ $\therefore$ $\displaystyle - \frac{5}{2} < d < - \frac{5}{3}$ $\therefore$ $d = - 2$ (b) $k \geq 5$일 때 ㉡에서 $\displaystyle a _{k + 1} = \frac{5}{2} + \left( k - 3 \right) d > 0$ $\displaystyle d > \frac{- 5}{2 \left( k - 3 \right)}$ 또 ㉡에서 $a _{k + 1} + a _{k + 2} = 5 + \left( 2 k - 7 \right) d < 0$ $\displaystyle d < \frac{- 5}{2 k - 7}$ $\therefore$ $\displaystyle - \frac{5}{2 k - 6} < d < - \frac{5}{2 k - 7}$ 이를 만족시키는 정수 $d$는 존재하지 않는다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $d$$= 3$ 또는 $4$ 또는 $- 2$ 따라서 구하는 값은 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{6} a _{n}$$\displaystyle = \frac{6 \left( 2 a _{1} + 5 d \right)}{2}$$= 3 \left( 2 a _{1} + 5 d \right)$$= 3 \left( a _{3} + a _{4} \right)$$\displaystyle = 3 \left( \frac{5}{2} - d + \frac{5}{2} \right)$ $= 3 \left( 5 - d \right)$ 이므로 $d = 3$일 때 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{6} a _{n} = 3 \times \left( 5 - 3 \right) = 6$ $d = 4$일 때 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{6} a _{n} = 3 \times \left( 5 - 4 \right) = 3$ $d = - 2$일 때 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{6} a _{n} = 3 \times \left\{ 5 - \left( - 2 \right) \right\} = 21$ 따라서 $M = 21$, $m = 3$이므로 $M + m = 24$