등차 함숫값 사차함수

$f \left( - 1 \right)$, $f \left( 0 \right)$, $f \left( 1 \right)$, $f \left( 2 \right)$가 등차수열이므로 네점을 연결하는 직선을 $y = mx + n$이라고 하자. 그러면 $f \left( x \right) - \left( mx + n \right) = x \left( x + 1 \right) \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right)$라고 할수 있다. $f \left( x \right) = x \left( x - 1 \right) \left( x + 1 \right) \left( x - 2 \right) + mx + n$이라고 하면 $f' \left( - 1 \right) = m - 6$, $f' \left( 2 \right) = m + 6$, $f \left( - 1 \right) = m + n$, $f \left( 2 \right) = 2 m + n$이다. $- 1$에서의 접선은 $y = \left( m - 6 \right) \left( x + 1 \right) - m + n$ $2$에서의 접선은 $y = \left( m + 6 \right) \left( x - 2 \right) + 2 m + n$ $\left( k , 0 \right)$에서 두 접선이 만나므로 $0 = \left( m - 6 \right) \left( k + 1 \right) - m + n$, $0 = \left( m + 6 \right) \left( k - 2 \right) + 2 m + n$ 두식을 $k$에 관하여 정리하면 $\displaystyle k = \frac{m - n}{m - 6} - 1$, $\displaystyle k = - \frac{2 m + n}{m + 6} + 2$ 연립하면 $m + 2 n = 18$ $m = - 2 n + 18$을 $\displaystyle k = \frac{m - n}{m - 6} - 1$에 대입하면 $\displaystyle k = \frac{1}{2}$ 따라서 $f \left( 2 k \right) = f \left( 1 \right) = m + n = 20$이므로 $m = 22$, $n = - 2$ $f \left( x \right) = x \left( x - 1 \right) \left( x + 1 \right) \left( x - 2 \right) + 22 x - 2$ $f \left( 4 k \right) = f \left( 2 \right) = 42$