대수수열의 합AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

등차·등비수열의 곱의 합에서 항 수 구하기

문제

등차수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}과 공비가 양수인 등비수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}이 a2=5,a5=11,b1=2,b3=8a _{2} = 5 , a _{5} = 11 , b _{1} = 2 , b _{3} = 8 을 만족시킨다. ∑k=1nakbk=19⋅211+2\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} b _{k} = 19 \cdot 2 ^{11} + 2 일 때, 자연수 nn의 값을 구하시오. [4점]

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10

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해설

등차수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 공차를 dd라 하면 a5−a2=3d=6a _{5} - a _{2} = 3 d = 6에서 d=2d = 2, a1=3a _{1} = 3이므로 an=2n+1a _{n} = 2 n + 1 등비수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}의 공비를 r(r>0)r ( r > 0 )이라 하면 b3=2r2=8b _{3} = 2 r ^{2} = 8에서 r=2r = 2이므로 bn=2nb _{n} = 2 ^{n} S=∑k=1n(2k+1)2k\displaystyle S = \sum\limits _{k = 1} ^{n} ( 2 k + 1 ) 2 ^{k} 이라 하면 S=3⋅2+5⋅22+7⋅23+⋯+(2n+1)2nS = 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2 ^{2} + 7 \cdot 2 ^{3} + \cdots + ( 2 n + 1 ) 2 ^{n} …… ㉠ 2S=3⋅22+5⋅23+⋯+(2n−1)2n+(2n+1)2n+12 S = 3 \cdot 2 ^{2} + 5 \cdot 2 ^{3} + \cdots + ( 2 n - 1 ) 2 ^{n} + ( 2 n + 1 ) 2 ^{n + 1} …… ㉡ ㉠−-㉡을 하면 −S=3⋅2+2(22+23+⋯+2n)−(2n+1)2n+1- S = 3 \cdot 2 + 2 ( 2 ^{2} + 2 ^{3} + \cdots + 2 ^{n} ) - ( 2 n + 1 ) 2 ^{n + 1} =6+2⋅22(2n−1−1)2−1−(2n+1)2n+1\displaystyle = 6 + 2 \cdot \frac{2 ^{2} ( 2 ^{n - 1} - 1 )}{2 - 1} - ( 2 n + 1 ) 2 ^{n + 1} =6+2n+2−8−(2n+1)2n+1= 6 + 2 ^{n + 2} - 8 - ( 2 n + 1 ) 2 ^{n + 1} =−(2n−1)2n+1−2= - ( 2 n - 1 ) 2 ^{n + 1} - 2 이므로 S=(2n−1)2n+1+2S = ( 2 n - 1 ) 2 ^{n + 1} + 2 (2n−1)2n+1+2=19⋅211+2( 2 n - 1 ) 2 ^{n + 1} + 2 = 19 \cdot 2 ^{11} + 2에서 (2n−1)2n+1=19⋅211( 2 n - 1 ) 2 ^{n + 1} = 19 \cdot 2 ^{11} 2n−12 n - 1은 홀수이므로 2n+1=2112 ^{n + 1} = 2 ^{11}, 2n−1=192 n - 1 = 19 따라서 n=10n = 10

태그

#(등차)×(등비) 꼴의 합#등차수열#등비수열#수열의 합

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