등차·등비수열 합 조건

[출제의도] 등차수열과 등비수열의 합을 이용하여 특정한 항의 값을 구할 수 있는가? 조건 (가)와 조건 (나)에서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{5} \left( a _{n} + \left| b _{n} \right| \right) - \sum\limits _{n = 1} ^{5} \left( a _{n} + b _{n} \right) = 67 - 27$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{5} \left( \left| b _{n} \right| - b _{n} \right) = 40 \cdots \text{㉠}$ 한편, 등비수열 $b _{n}$의 공비를 $r$($r$는 음의 정수)라 하면 $b _{1} > 0 , b _{2} < 0 , b _{3} > 0 , b _{4} < 0 , b _{5} > 0$ 이므로 ㉠에서 $- 2 ( b _{2} + b _{4} ) = 40$ 즉, $b _{1} r + b _{1} r ^{3} = - 20 \cdots \text{㉡}$ $b _{1} r ( 1 + r ^{2} ) = - 20$ 이다. 이때 $b _{1} r$는 음의 정수이고, $1 + r ^{2}$은 자연수이므로 $1 + r ^{2}$은 20의 양의 약수이어야 한다. 20의 양의 약수는 1, 2, 4, 5, 10, 20이고, $r$가 음의 정수이므로 $r = - 1$ 또는 $r = - 2$ 또는 $r = - 3$ 이다. ㉡에서 $r = - 1$일 때, $b _{1} = 10$ $r = - 2$일 때, $b _{1} = 2$ $r = - 3$일 때, $\displaystyle b _{1} = \frac{2}{3}$ 이때, $b _{1}$은 자연수이므로 $b _{1} = 10 , r = - 1$ 또는 $b _{1} = 2 , r = - 2$ (ⅰ) $b _{1} = 10 , r = - 1$일 때 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{5} b _{n} = 10$이고, 조건(가)에서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{5} \left( a _{n} + b _{n} \right) = 27$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{5} a _{n} = 17$ 이때 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{5} a _{n} = 5 a _{3} = 17$에서 $\displaystyle a _{3} = \frac{17}{5}$ 한편, 등차수열 $a _{n}$의 첫째항이 자연수이고 공차가 음의 정수이므로 등차수열 $a _{n}$의 모든 항은 정수이다. 따라서 $b _{1} = 10 , r = - 1$은 주어진 조건을 만족시키지 못한다. (ⅱ) $b _{1} = 2 , r = - 2$ 일 때 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{5} b _{n} = \frac{2 \left\{ 1 - ( - 2 ) ^{5} \right\}}{1 - ( - 2 )} = 22$ 조건 (가)에서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{5} \left( a _{n} + b _{n} \right) = 27$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{5} a _{n} = 5$ 이때 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{5} a _{n} = 5 a _{3} = 5$에서 $a _{3} = 1$ 또, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{5} \left| b _{n} \right| = \frac{2 \left\{ 1 - \left| - 2 \right| ^{5} \right\}}{1 - \left| - 2 \right|} = 62$ 조건 (다)에서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{5} \left( \left| a _{n} \right| + \left| b _{n} \right| \right) = 81$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{5} \left| a _{n} \right| = 19 \cdots \text{㉢}$ 한편, 등차수열 $a _{n}$의 공차를 $d$ ($d$는 음의 정수)라 하면 $a _{3} = 1$이므로 $a _{1} > a _{2} > a _{3} > 0 \geq a _{4} > a _{5}$ 이다. 이때, $a _{1} = 1 - 2 d$, $a _{2} = 1 - d$, $a _{4} = 1 + d$, $a _{5} = 1 + 2 d$ 이므로 ㉢에서 $( 1 - 2 d ) + ( 1 - d ) + 1 - ( 1 + d ) - ( 1 + 2 d ) = 19$ $1 - 6 d = 19$ $d = - 3$ 따라서 $a _{1} = 1 - 2 \times ( - 3 ) = 7$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $a _{1} = 7 , d = - 3 , b _{1} = 2 , r = - 2$ 등차수열 $a _{n}$의 일반항은 $a _{n} = 7 + ( n - 1 ) \times ( - 3 ) = - 3 n + 10$ 등비수열 $b _{n}$의 일반항은 $b _{n} = 2 \times ( - 2 ) ^{n - 1}$ 따라서 $a _{7} + b _{7} = - 11 + 128 = 117$