등차 등비 공통항

[출제의도] 두 수열의 일반항 사이의 관계를 추측하여 주어진 조건에 맞는 값을 구한다. 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 일반항은 $a _{n} = 6 + ( n - 1 ) p$ 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$의 일반항은 $b _{n} = 6 p ^{n - 1}$ 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$의 모든 항이 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 항이 되려면 모든 자연수 $n$에 대하여 $6 p ^{n - 1} = 6 + p ( m - 1 )$인 자연수 $m$이 존재한다. $p ( m - 1 ) = 6 p ^{n - 1} - 6$ $\displaystyle m - 1 = \frac{6 p ^{n - 1} - 6}{p} = 6 p ^{n - 2} - \frac{6}{p}$ $\displaystyle \frac{6}{p} = 6 p ^{n - 2} - m + 1$ $p ^{n - 2}$($n \geq 2$)과 $m$은 모두 자연수이므로 $\displaystyle \frac{6}{p}$도 자연수이다. 따라서 $p$는 $6$의 약수이다. ∴ $p = 2$, $3$, $6$ (∵ $p > 1$) 그러므로 모든 자연수 $p$의 합은 $2 + 3 + 6 = 11$이다. [다른 풀이] $a _{m} = b _{2}$인 자연수 $m$이 존재하므로 $6 + ( m - 1 ) p = 6 p$에서 $\displaystyle m - 1 = \frac{6 ( p - 1 )}{p} = 6 - \frac{6}{p}$ $\displaystyle \frac{6}{p}$이 자연수이어야 하므로 $p$는 $6$의 약수이다. (ⅰ) $p = 2$일 때 $a _{m} = 4 + 2 m$, $b _{n} = 6 \cdot 2 ^{n - 1}$ (ⅱ) $p = 3$일 때 $a _{m} = 3 + 3 m$, $b _{n} = 6 \cdot 3 ^{n - 1}$ (ⅲ) $p = 6$일 때 $a _{m} = 6 m$, $b _{n} = 6 ^{n}$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)의 모든 경우 임의의 자연수 $n$에 대하여 $b _{n} = a _{m}$을 만족시키는 $m$이 존재하므로 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$의 모든 항은 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 항이 된다. ∴ $p = 2$, $3$, $6$이고 모든 자연수 $p$의 합은 $11$이다.