등비·등차 배열 조건

[출제의도] 실수의 성질을 이용하여 수열 문제 해결하기 $ab < 0$이므로 $a$와 $b$의 부호가 다르다. 1) $a < 0$, $b > 0$일 때 세 수 $a , b , ab$에서 $a$와 $ab$는 음수, $b$는 양수이다. 음수 두 개와 양수 한 개가 등비수열이 되는 배열은 (음수, 양수, 음수)이므로 세 수의 배열은 $a , b , ab$ 또는 $ab , b , a$ 뿐이다. 그러므로 $b$가 등비중항이므로 $b ^{2} = a \times ab$ $b = a ^{2}$ 이다. 따라서 세 수 $a , b , ab$는 $a , a ^{2} , a ^{3}$이다. $a < 0 , a ^{2} > 0 , a ^{3} < 0$이므로 세 수를 배열하여 등차수열로 되는 경우의 등차중항은 음수인 $a$ 또는 $a ^{3}$이다. ⅰ) $a$가 등차중항인 경우 $2 a = a ^{3} + a ^{2}$ $a ( a + 2 ) ( a - 1 ) = 0$ $a < 0$이므로 $a = - 2$이고 $b = 4$이다. ii) $a ^{3}$이 등차중항인 경우 $2 a ^{3} = a + a ^{2}$ $a ( a - 1 ) ( 2 a + 1 ) = 0$ $a < 0$이므로 $\displaystyle a = - \frac{1}{2}$이고 $\displaystyle b = \frac{1}{4}$이다. 따라서 $a$의 값은 $\displaystyle - 2 , - \frac{1}{2}$이다. 2) $a > 0$, $b < 0$일 때 1)과 같은 방법에 의해 $a$의 값은 $\displaystyle 4 , \frac{1}{4}$이다. 1)과 2)에 의해 $a$의 값은 $\displaystyle - 2 , - \frac{1}{2} , 4 , \frac{1}{4}$이다. 따라서 $\displaystyle k = - 2 - \frac{1}{2} + 4 + \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$이고 $48 k = 84$이다.