공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출기본 문제 (3점 중반)

다항식이 완전제곱 인수를 가질 때 세 실수의 관계

문제

다항식 $x ^{3} - 3 x ^{2} b + 3 xb ^{2} - c ^{3}$ 이 $( x - a ) ( x - b )$ 로 나누어떨어질 때 세 실수 $a , b , c$ 의 관계는? ① $a = b$ ② $b = c$ ③ $a = c$ ④ $a ^{2} + b ^{2} = c ^{2}$ ⑤ $a = b = c$

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⑤

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해설

준 식이 $( x - a ) ( x - b )$ 로 나누어떨어지므로 $x ^{3} - 3 x ^{2} b + 3 xb ^{2} - c ^{3} = ( x - a ) ( x - b ) Q ( x ) \cdots$ (1) 식 (1)의 $x$ 에 $a$ 와 $b$ 를 대입하면 $a ^{3} - 3 a ^{2} b + 3 ab ^{2} - c ^{3} = 0 \cdots$ (2) $b ^{3} - 3 b ^{3} + 3 b ^{3} - c ^{3} = 0 \cdots$ (3) $a , b , c$ 는 실수이므로 식 (3)으로부터 $b = c$ 이다. 이를 식 (1)에 대입하여 정리하면 $( a - b ) ^{3} = 0$ 따라서, $a = b = c$

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