대칭이동한 로그곡선의 교점

[출제의도] 로그함수의 그래프 문제 해결하기 곡선 $y = \log _{2} x$를 원점에 대하여 대칭이동한 곡선은 $y = \mathit{-} \log _{2} \left( - x \right)$이고, 이것을 다시 $x$축의 방향으로 $\displaystyle \frac{5}{2}$만큼 평행이동한 곡선은 $\displaystyle y = \mathit{-} \log _{2} \left\{ - \left( x - \frac{5}{2} \right) \right\} = \mathit{-} \log _{2} \left( - x + \frac{5}{2} \right)$이다. 따라서 $\displaystyle f \left( x \right) = \mathit{-} \log _{2} \left( - x + \frac{5}{2} \right)$이다. 두 점 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$의 $x$좌표를 각각 $\alpha$, $\beta$($\alpha < \beta$)라 하면 두 실수 $\alpha$, $\beta$는 방정식 $\displaystyle \log _{2} x = \mathit{-} \log _{2} \left( - x + \frac{5}{2} \right)$의 해다. 따라서 $\displaystyle \log _{2} x = \mathit{-} \log _{2} \left( - x + \frac{5}{2} \right)$ $\displaystyle \log _{2} x + \log _{2} \left( - x + \frac{5}{2} \right) = 0$ $\displaystyle \log _{2} \left\{ x \left( - x + \frac{5}{2} \right) \right\} = 0$ $\displaystyle x \left( - x + \frac{5}{2} \right) = 1$ $2 x ^{2} - 5 x + 2 = 0$ $\left( 2 x - 1 \right) \left( x - 2 \right) = 0$ $\displaystyle \alpha = \frac{1}{2}$, $\beta = 2$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{2} , - 1 \right)$, $\mathrm{B} ( 2 , 1 )$이고, 직선 $\mathrm{AB}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{q}{p} = \frac{1 - \left( - 1 \right)}{2 - \frac{1}{2}} = \frac{4}{3}$이다. 따라서 $10 p + q = 34$이다.