대칭과 로그곡선

두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$는 곡선 $y = 3 ^{x} + b$ 위의 점이다. $b > 0$이므로 곡선 $y = 3 ^{x} + b$는 직선 $y = x$와 만나지 않는다. 점 ${\mathrm{B}}$를 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 점을 ${\mathrm{B}}' \left( 3 ^{a + 3} + b , a + 3 \right)$이라 하자. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} + {\overline{\mathrm{BP}}} = {\overline{\mathrm{AP}}} + {\overline{{\mathrm{B}}' {\mathrm{P}}}} \geq {\overline{{\mathrm{AB}}'}}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} + {\overline{\mathrm{BP}}}$의 값은 점 ${\mathrm{P}}$가 직선 ${\mathrm{AB}}'$과 직선 $y = x$의 교점일 때 최소이다. 직선 ${\mathrm{AB}}'$과 직선 $y = x$의 교점을 ${\mathrm{P}} _{0}$이라 하면 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{AP}} _{0}}} + {\overline{{\mathrm{BP}} _{0}}} = {\overline{{\mathrm{AP}} _{0}}} + {\overline{{\mathrm{B}}' {\mathrm{P}} _{0}}} = {\overline{{\mathrm{AB}}'}} = 55$ 점 ${\mathrm{C}}$의 $y$좌표가 $a + 3$이므로 $\log _{3} \left( x - a - b \right) = a + 3$, $x = 3 ^{a + 3} + a + b$ ${\mathrm{C}} \left( 3 ^{a + 3} + a + b , a + 3 \right)$이다. 점 ${\mathrm{C}}$는 점 ${\mathrm{B}}'$을 $x$축의 방향으로 $a \left( a > 0 \right)$만큼 평행이동한 점과 일치하므로 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{B}}' {\mathrm{C}}}} = a$이고 직선 ${\mathrm{B}}' {\mathrm{C}}$는 $x$축과 평행하다. $\displaystyle {\overline{{\mathrm{AB}}'}} + {\overline{{\mathrm{B}}' {\mathrm{C}}}} = {\overline{\mathrm{AC}}}$이므로 점 ${\mathrm{B}}'$은 선분 ${\mathrm{AC}}$ 위의 점이고 직선 ${\mathrm{AB}}'$은 $x$축과 평행하다. $3 ^{a} + b = a + 3$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\displaystyle {\overline{{\mathrm{AB}}'}} = 55$이므로 $3 ^{a + 3} + b - a = 55$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 $3 ^{a + 3} - 3 ^{a} = 52$ $3 ^{a} = 2$, $a = \log _{3} 2$, $b = a + 1$ $a + b = 2 a + 1 = \log _{3} 12$