대칭 사차함수 극대값

원점을 지나고 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f ( x ) = x ^{4} + ax ^{3} + bx ^{2} + cx$에 대해 $f ( 2 + x ) = f ( 2 - x )$이므로 $x = 2$에 대하여 대칭이고, $x = 1$에서 극소이므로 $x = 3$에서 극소이고, $x = 2$에서 극대이다. $f' ( x ) = 4 x ^{3} + 3 ax ^{2} + 2 bx + c$ $= 4 ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 )$ $= 4 x ^{3} - 24 x ^{2} + 44 x - 24$ 따라서 $a = - 8 , b = 22 , c = - 24$ $f ( x ) = x ^{4} - 8 x ^{3} + 22 x ^{2} - 24 x$ $x = 2$에서 극대이고 극대값 $a = f ( 2 ) = - 8$ ∴ $a ^{2} = 64$