대칭 사차함수 최댓값

모든 실수 $x$에 대하여 $f \left( 3 - x \right) = f \left( 3 + x \right)$이므로 최고차항의 계수가 $- 1$인 사차함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 직선 $x = 3$에 대하여 대칭이다. $\cdots$$\cdots$ ㉠ 조건 (나)에 의하여 $0 \leq x \leq 2$에서의 함수 $f ( x )$의 최댓값은 $g \left( 1 \right)$이다. $- 1 \leq t \leq 1$인 모든 실수 $t$에 대하여 $t - 1 \leq x \leq t + 1$을 모두 만족시키는 실수 $x$는 $0$뿐이므로 조건 (나)에 의하여 $f \left( 0 \right)$은 함수 $f ( x )$의 최댓값이다. $g \left( 1 \right) = f \left( 0 \right)$

㉠에 의하여 $f \left( 0 \right) = f \left( 6 \right)$이므로 $f \left( x \right) = - x ^{2} \left( x - 6 \right) ^{2} + k$ ($k$는 상수) 라 하자. $f \left( 2 \right) = 0$이므로 $- 64 + k = 0$, $k = 64$ $\therefore$ $f \left( x \right) = - x ^{2} \left( x - 6 \right) ^{2} + 64$ 따라서 $f \left( 5 \right) = 39$이다.