대칭 이차함수 적분

[출제의도] 적분을 활용하여 조건을 만족시키는 함수의 적분값을 구하는 문제를 해결한다. 함수 $f ( x )$는 이차함수이고 조건 (가)에서 $\displaystyle \int _{0} ^{t} {} f \left( x \right) dx = \int _{2 a - t} ^{2 a} {} f \left( x \right) dx$이므로 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 직선 $\displaystyle x = \frac{0 + 2 a}{2} = a$에 대하여 대칭이다. 조건 (나)에서 $\displaystyle 0 < \int _{a} ^{2} {} f \left( x \right) dx < \int _{a} ^{2} {} \left| f \left( x \right) \right| dx$이므로 $a < 2$이고, 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 $x$축과 두 점 $\left( k , 0 \right)$, $\left( 2 a - k , 0 \right)$에서 만난다.

위의 그림에서 곡선 $y = f \left( x \right)$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S _{1}$, 곡선 $y = f \left( x \right)$와 $x$축 및 직선 $x = 2$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S _{2}$라 하면 $\displaystyle \int _{k} ^{a} {} f \left( x \right) dx = \int _{a} ^{2 a - k} {} f \left( x \right) dx = \mathit{-} \frac{S _{1}}{2}$이므로 $\displaystyle \int _{a} ^{2} {f \left( x \right)} dx = \mathit{-} \frac{S _{1}}{2} + S _{2}$$= 2$ $\displaystyle \int _{a} ^{2} {\left| f \left( x \right) \right|} dx = \frac{S _{1}}{2} + S _{2}$$\displaystyle = \frac{22}{9}$ 따라서 $\displaystyle S _{1} = \frac{4}{9}$, $\displaystyle S _{2} = \frac{20}{9}$이다. $\displaystyle \int _{k} ^{2} {f ( x ) dx} = \mathit{-} S _{1} + S _{2} = \frac{\mathit{16}}{9}$ $p = 9$, $q = 16$이므로 $p + q = 25$