대수삼각함수AI기본 문제 (3점 중반)

cos x로 치환한 부등식의 항상 성립 조건

문제

모든 실수 xx에 대하여 부등식 cos⁡2x−6cos⁡x+a≥0\cos ^{2} x - 6 \cos x + a \geq 0이 항상 성립하도록 하는 실수 aa의 최솟값을 구하시오. [3점]

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해설

cos⁡x=t\cos x = t라 하면 −1≤t≤1- 1 \leq t \leq 1 f(t)=t2−6t+a=(t−3)2+a−9f ( t ) = t ^{2} - 6 t + a = ( t - 3 ) ^{2} + a - 9라 하면 f(t)f ( t )는 −1≤t≤1- 1 \leq t \leq 1에서 감소하므로 t=1t = 1일 때 최솟값 f(1)=a−5f ( 1 ) = a - 5를 갖는다. 부등식이 항상 성립하려면 a−5≥0a - 5 \geq 0, 즉 a≥5a \geq 5 따라서 aa의 최솟값은 55

태그

#삼각부등식#항상 성립#치환

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