최솟값 함수 극한 조건

[출제의도] 발견적 추론능력(추측)-미분법 $\displaystyle y = \frac{- 8 x}{x ^{2} + 1}$에서 $\displaystyle y' = \frac{- 8 ( x ^{2} + 1 ) + 8 x \times 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{8 ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ $y' = 0$에서 $x = - 1 ( \because x \leq 0 )$ 함수 $\displaystyle y = \frac{- 8 x}{x ^{2} + 1}$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

직선 $y = t$가 함수 $y = g ( x )$의 그래프와 만나는 점의 $x$좌표 중 가장 작은 값이 $h ( t )$이다. $f ( x ) = x ^{3} + ax ^{2} + bx + c$ ($a , b , c$는 상수)라 하면 함수 $g ( x )$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $x = 0$에서 연속이다. $f ( 0 ) = c = 0$ $\cdots \text{㉠}$ (가)에서 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 4 -} {} h ( t ) < \lim\limits _{t \rightarrow 4 +} {} h ( t ) = 1$이고, 함수 $g ( x )$가 $x = - 1$에서 극댓값 4를 가지므로 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 점 $( 1 , 4 )$를 지난다. $g ( 1 ) = f ( 1 ) = 1 + a + b + c = 4$ $\cdots \text{㉡}$ (나)에서 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow p +} {} h ( t ) > \lim\limits _{t \rightarrow p -} {} h ( t ) = \frac{4}{3}$이므로 함수 $g ( x )$는 $\displaystyle x = \frac{4}{3}$에서 극댓값 $p$를 갖는다. $f' ( x ) = 3 x ^{2} + 2 ax + b$이므로 $\displaystyle g' \left( \frac{4}{3} \right) = f' \left( \frac{4}{3} \right) = 3 \times \left( \frac{4}{3} \right) ^{2} + 2 a \times \left( \frac{4}{3} \right) + b$ $\displaystyle = \frac{16}{3} + \frac{8}{3} a + b = 0 \cdots \text{㉢}$ 즉, 함수 $y = g ( x )$의 그래프의 개형은 그림과 같다.

㉠, ㉡, ㉢에서 $a = - 5 , b = 8 , c = 0$이므로 $f ( x ) = x ^{3} - 5 x ^{2} + 8 x$ $\displaystyle p = f \left( \frac{4}{3} \right) = \left( \frac{4}{3} \right) ^{3} - 5 \times \left( \frac{4}{3} \right) ^{2} + 8 \times \frac{4}{3}$ $\displaystyle = \frac{64}{27} - \frac{80}{9} + \frac{32}{3} = \frac{112}{27}$ 따라서 $27 p = 112$