최소가 되는 점으로 다른 점 역추적하기

거리의 합이 최소가 되는 축 위의 점은 한 점의 대칭점과 다른 점을 이은 선분이 축과 만나는 점이므로, 대칭점·주어진 점·$\mathrm{B}$ 가 한 직선 위에 있다. 점 $\mathrm{A}$ 를 $x$축에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{A}'$ 이라 하면 $\mathrm{A}' ( 2 , - 3 )$ 이고 $b > 0$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} + \overline{\mathrm{PB}} = \overline{\mathrm{A}' P} + \overline{\mathrm{PB}} \geq \overline{\mathrm{A}' B}$ 등호는 점 $\mathrm{P}$ 가 선분 $\mathrm{A}' B$ 위에 있을 때 성립하므로 세 점 $\mathrm{A}'$, $\mathrm{P} ( 4 , 0 )$, $\mathrm{B}$ 는 한 직선 위에 있다. 직선 $\mathrm{A}' P$ 의 기울기는 $\displaystyle \frac{0 + 3}{4 - 2} = \frac{3}{2}$ 이므로 $\displaystyle b = \frac{3}{2} ( a - 4 )$ ㉠ 점 $\mathrm{A}$ 를 $y$축에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{A}''$ 이라 하면 $\mathrm{A}'' ( - 2 , 3 )$ 이고 $a > 0$ 이므로 마찬가지로 세 점 $\mathrm{A}''$, $\mathrm{Q} ( 0 , 3 )$, $\mathrm{B}$ 는 한 직선 위에 있다. 직선 $\mathrm{A}'' Q$ 는 $y = 3$ 이므로 $b = 3$ ㉠에 대입하면 $\displaystyle 3 = \frac{3}{2} ( a - 4 )$ 에서 $a = 6$ 실제로 $\mathrm{B} ( 6 , 3 )$ 이면 점 $\mathrm{P} ( 4 , 0 )$ 은 선분 $\mathrm{A}' B$ 의 중점이고 점 $\mathrm{Q} ( 0 , 3 )$ 은 선분 $\mathrm{A}'' B$ 위에 있으므로 두 조건을 모두 만족시킨다. 따라서 $ab = 6 \times 3 = 18$