최댓값 함수 미분가능

$f' ( x ) = - 12 x ^{3} + 12 ( a - 1 ) x ^{2} + 12 ax$ $= - 12 x \left\{ x ^{2} - ( a - 1 ) x - a \right\}$ $= - 12 x ( x + 1 ) ( x - a )$ $f' ( x ) = 0$에서 $x = - 1 , 0 , a$

함수 $y = f ( x )$의 그래프는 다음과 같다.

$f ( - 1 ) = 2 a + 1$, $f ( a ) = a ^{4} + 2 a ^{3}$이고, $f ( a ) - f ( - 1 ) =$$a ^{4} + 2 a ^{3} - 2 a - 1$$= ( a + 1 ) ^{3} ( a - 1 )$ 이므로 $0 < a < 1$이면 $f ( a ) < f ( - 1 )$ $a \geq 1$이면 $f ( a ) \geq f ( - 1 )$이다. (ⅰ) $0 < a < 1$인 경우 $t < - 1$이면 $g ( t ) = f ( t ) = - 3 t ^{4} + 4 ( a - 1 ) t ^{3} + 6 at ^{2}$ $t \geq - 1$이면 $g ( t ) = f ( - 1 ) = 2 a + 1$ 따라서, $\displaystyle g' ( t ) = \begin{cases} - 12 t ^{3} + 12 ( a - 1 ) t ^{2} + 12 at & ( t < - 1 ) \\ 0 & ( t > - 1 ) \end{cases}$ 이고, $\displaystyle \lim\limits _{t\rightarrow -1-0} g' ( t ) = \lim\limits _{t\rightarrow -1+0} g' ( t ) = 0$ 이므로 $g ( t )$는 $t = - 1$에서 미분가능하다. 그러므로 $0 < a < 1$일 때 함수 $g ( t )$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. (ⅱ) $a \geq 1$인 경우 $f ( - 1 ) = f ( \alpha )$ ($0 < \alpha \leq a$)이라 하자. $t < - 1$이면 $g ( t ) = f ( t ) = - 3 t ^{4} + 4 ( a - 1 ) t ^{3} + 6 at ^{2}$ $- 1 \leq t < \alpha$이면 $g ( t ) = f ( - 1 ) = 2 a + 1$ $\alpha \leq t < a$이면 $g ( t ) = f ( t ) = - 3 t ^{4} + 4 ( a - 1 ) t ^{3} + 6 at ^{2}$ $t \geq a$이면 $g ( t ) = f ( a ) = a ^{4} + 2 a ^{3}$ 따라서, $\displaystyle g' ( t ) = {\begin{cases} - 12 t ^{3} + 12 ( a - 1 ) t ^{2} + 12 at & ( t \leftarrow 1 ) \\ 0 & ( - 1 < t < \alpha ) \\ - 12 t ^{3} + 12 ( a - 1 ) t ^{2} + 12 at & ( \alpha < t < a ) \\ 0 & ( t > a ) \end{cases}}$ $\displaystyle \lim\limits _{t\rightarrow -1-0} g' ( t ) = \lim\limits _{t\rightarrow -1+0} g' ( t ) = 0$이므로 $g ( t )$는 $t = - 1$에서 미분가능하다. $\displaystyle \lim\limits _{t\rightarrow a-0} g' ( t ) = \lim\limits _{t\rightarrow a+0} g' ( t )$이어야 하므로 $- 12 a ^{3} + 12 ( a - 1 ) a ^{2} + 12 a ^{3} = 0$에서 $12 ( a - 1 ) a ^{2} = 0$ ∴ $a = 1$ $a = 1$이면 $f ( x ) = - 3 x ^{4} + 6 x ^{2}$이므로 $f ( - 1 ) = f ( 1 )$ ∴ $\alpha = a = 1$ ∴ $\displaystyle g' ( t ) = \begin{cases} - 12 t ^{3} + 12 t & ( t < - 1 ) \\ 0 & ( - 1 < t < 1 ) \\ - 12 t ^{3} + 12 t & ( t > 1 ) \end{cases}$ $g' ( - 1 ) = 0$, $g' ( 1 ) = 0$이므로 $a = 1$일 때, $g ( t )$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. (ⅰ),(ⅱ)에서 함수 $g ( t )$가 수 전체의 집합에서 미분가능하기 위한 $a$의 값의 범위는 $0 < a \leq 1$이므로 구하는 $a$의 최댓값은 $1$이다.