최대·최소의 차로 정의역 구하기

실마리: 정의역에 점근선 $x = 2$가 들어가면 함수가 정의되지 않으므로, 정의역은 점근선의 오른쪽 또는 왼쪽에 통째로 놓인다. 정의역에 $x = 2$가 들어가지 않아야 하므로 $a > 2$ 또는 $a + 2 < 2$, 즉 $a > 2$ 또는 $a < 0$ 두 경우 모두 정의역에서 $x$의 값이 커지면 $f ( x )$의 값은 작아지므로 최댓값은 $f ( a )$, 최솟값은 $f ( a + 2 )$ $\displaystyle f ( a ) - f ( a + 2 ) = \frac{2}{a - 2} - \frac{2}{a} = \frac{4}{a ( a - 2 )}$ $\displaystyle \frac{4}{a ( a - 2 )} = \frac{1}{2}$에서 $a ( a - 2 ) = 8$ $a ^{2} - 2 a - 8 = 0$, $( a - 4 ) ( a + 2 ) = 0$이므로 $a = 4$ 또는 $a = - 2$ $a = 4$는 $a > 2$를, $a = - 2$는 $a < 0$을 만족시킨다. 실제로 $a = 4$일 때 $\displaystyle f ( 4 ) - f ( 6 ) = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$, $a = - 2$일 때 $\displaystyle f ( - 2 ) - f ( 0 ) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$ 따라서 모든 실수 $a$의 값의 합은 $4 + ( - 2 ) = 2$