불연속 조건 이차함수

두 직선 $y = - x + 3$과 $y = x + 1$의 교점의 $x$좌표는 $- x + 3 = x + 1$에서 $x = 1$이다. $f \left( x \right) = - x + 3$을 만족시키는 실수 $x$의 값을 $\alpha$라 하면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \alpha -} g \left( x \right)$와 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \alpha +} g \left( x \right)$는 각각 $- \alpha + 3$과 $\alpha + 1$ 중 하나이다. 함수 $g \left( x \right)$가 $x = \alpha$에서 연속이려면 $- \alpha + 3 = \alpha + 1$이어야 하므로 $\alpha = 1$이다. 즉, $f \left( x \right) = - x + 3$을 만족시키는 $x$의 값 중 $1$이 아닌 값이 존재하면 함수 $g \left( x \right)$는 그 값에서 불연속이다. 함수 $g \left( x \right)$가 $x = 3$에서만 불연속이므로 $f \left( 3 \right) = - 3 + 3 = 0$이고, 방정식 $f \left( x \right) - \left( - x + 3 \right) = 0$의 근은 $x = 3$ 하나이거나 $x = 1$, $3$이어야 한다. (ⅰ) $f \left( x \right) - \left( - x + 3 \right) = 0$이 중근 $x = 3$을 가질 때 $f \left( x \right) - \left( - x + 3 \right) = a \left( x - 3 \right) ^{2}$ ($a \neq 0$)이라 하자. (a) $a > 0$일 때 $x \neq 3$인 모든 실수 $x$에 대하여 $f \left( x \right) > - x + 3$이므로 $x \neq 3$일 때 $g \left( x \right) = x + 1$이고 $g \left( 3 \right) = f \left( 3 \right) = 0$이다. 이때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} g \left( x \right) = 4 \neq g \left( 3 \right)$이므로 함수 $g \left( x \right)$는 $x = 3$에서만 불연속이다. 하지만 $g \left( - 1 \right) = - 1 + 1 = 0$, $g \left( 2 \right) = 2 + 1 = 3$이므로 $g \left( - 1 \right) = g \left( 2 \right)$를 만족시키지 않는다. (b) $a < 0$일 때 모든 실수 $x$에 대하여 $f \left( x \right) \leq - x + 3$이므로 $g \left( x \right) = f \left( x \right)$가 되어 함수 $g \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $f \left( x \right) - \left( - x + 3 \right) = 0$의 두 근이 $x = 1$, $3$일 때 $f \left( x \right) - \left( - x + 3 \right) = a \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right)$ ($a \neq 0$) 즉 $f \left( x \right) = a \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right) - x + 3$이라 하자. (a) $a > 0$일 때 $1 \leq x \leq 3$에서 $f \left( x \right) \leq - x + 3$이므로 $g \left( x \right) = f \left( x \right)$이고, $x < 1$ 또는 $x > 3$에서 $f \left( x \right) > - x + 3$이므로 $g \left( x \right) = x + 1$이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} g \left( x \right) = 1 + 1 = 2$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} g \left( x \right) = f \left( 1 \right) = 2$이므로 $x = 1$에서 연속이고, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3 -} {} g \left( x \right) = f \left( 3 \right) = 0$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3 +} g \left( x \right) = 3 + 1 = 4$이므로 $x = 3$에서 불연속이 되어 조건 (가)를 만족시킨다. 조건 (나)에서 $g \left( - 1 \right) = g \left( 2 \right)$이어야 한다. $g \left( - 1 \right) = - 1 + 1 = 0$이고 $g \left( 2 \right) = f \left( 2 \right) = a \left( 2 - 1 \right) \left( 2 - 3 \right) - 2 + 3 = - a + 1$이므로 $- a + 1 = 0$에서 $a = 1$ $a = 1 > 0$이므로 조건을 만족시키며, 이때 $f \left( x \right) = \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right) - x + 3 = x ^{2} - 5 x + 6$이므로 $f \left( 7 \right) = 49 - 35 + 6 = 20$ (b) $a < 0$일 때 $x \leq 1$ 또는 $x \geq 3$에서 $f \left( x \right) \leq - x + 3$이므로 $g \left( x \right) = f \left( x \right)$이고, $1 < x < 3$에서 $f \left( x \right) > - x + 3$이므로 $g \left( x \right) = x + 1$이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} g \left( x \right) = f \left( 1 \right) = 2$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} g \left( x \right) = 1 + 1 = 2$이므로 $x = 1$에서 연속이고, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3 -} g \left( x \right) = 3 + 1 = 4$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3 +} g \left( x \right) = f \left( 3 \right) = 0$이므로 $x = 3$에서 불연속이 되어 조건 (가)를 만족시킨다. 조건 (나)에서 $g \left( - 1 \right) = g \left( 2 \right)$이어야 한다. $g \left( - 1 \right) = f \left( - 1 \right) = a \left( - 1 - 1 \right) \left( - 1 - 3 \right) - \left( - 1 \right) + 3 = 8 a + 4$이고 $g \left( 2 \right) = 2 + 1 = 3$이므로 $8 a + 4 = 3$에서 $\displaystyle a = - \frac{1}{8}$ $\displaystyle a = - \frac{1}{8} < 0$이므로 조건을 만족시키며, 이때 $\displaystyle f \left( x \right) = - \frac{1}{8} \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right) - x + 3$이므로 $\displaystyle f \left( 7 \right) = - \frac{1}{8} \times 6 \times 4 - 7 + 3 = - 3 - 4 = - 7$ (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 모든 $f \left( 7 \right)$의 값의 합은 $20 + \left( - 7 \right) = 13$