부등식 조건 삼차함수

[출제의도] 함수의 극한의 성질을 이용하여 문제를 해결한다. 조건 (가)에 의하여 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \left| f \left( x \right) - 1 \right|$$= 0$이므로 삼차식 $f \left( x \right) - 1$은 $x$를 인수로 갖는다. 이차식 $g \left( x \right)$에 대하여 $f \left( x \right) - 1$$= x g \left( x \right)$라 하자. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \frac{\left| f \left( x \right) - 1 \right|}{x}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \frac{\left| x g \left( x \right) \right|}{x}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \frac{\left| x \right| \left| g \left( x \right) \right|}{x}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \left| g \left( x \right) \right|$$= \left| g \left( 0 \right) \right|$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \frac{\left| f \left( x \right) - 1 \right|}{x}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \frac{\left| x g \left( x \right) \right|}{x}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \frac{\left| x \right| \left| g \left( x \right) \right|}{x}$ $\displaystyle = - \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \left| g \left( x \right) \right|$$= - \left| g \left( 0 \right) \right|$ $\left| g \left( 0 \right) \right|$$= \mathit{-} \left| g \left( 0 \right) \right|$에서 $g \left( 0 \right)$$= 0$ 이차식 $g \left( x \right)$도 $x$를 인수로 가지므로 $f \left( x \right) - 1$$= x ^{2} \left( x + a \right)$ ($a$는 실수)라 하면 $f \left( x \right)$$= x ^{3} + ax ^{2} + 1$ $x f \left( x \right)$$\geq - 4 x ^{2} + x$에서 $x \left( x ^{3} + ax ^{2} + 1 \right) \geq - 4 x ^{2} + x$ $x ^{4} + ax ^{3} + 4 x ^{2}$$\geq 0$ $x ^{2} \left( x ^{2} + ax + 4 \right)$$\geq 0$ $x ^{2} \geq 0$이므로 모든 실수 $x$에 대하여 $x ^{2} + ax + 4 \geq 0$이 성립한다. 이차방정식 $x ^{2} + ax + 4$$= 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D$$= a ^{2} - 16$$\leq 0$ $- 4 \leq a \leq 4$ $f \left( 5 \right)$$= 25 a + 126$이므로 구하는 $f \left( 5 \right)$의 최댓값은 $a$$= 4$일 때, $226$이다.