공통수학1복소수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

복소수 거듭제곱

문제

복소수 z=1−iz = 1 - i에 대하여 (z‾z)2n+(z2)2n=0\displaystyle \left( \frac{{\overline{z}}}{z} \right) ^{2 n} + \left( \frac{z}{\sqrt{2}} \right) ^{2 n} = 0 을 만족시키는 1010 이하의 모든 자연수 nn의 값의 합을 구하시오. (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}이고, z‾\displaystyle {\overline{z}}는 zz의 켤레복소수이다.) [3점]

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해설

(z‾z)2=(1+i1−i)2=(2i2)2=−1\displaystyle \left( \frac{{\overline{z}}}{z} \right) ^{2} = \left( \frac{1 + i}{1 - i} \right) ^{2} = \left( \frac{2 i}{2} \right) ^{2} = - 1 (z2)2=(1−i2)2=−2i2=−i\displaystyle \left( \frac{z}{\sqrt{2}} \right) ^{2} = \left( \frac{1 - i}{\sqrt{2}} \right) ^{2} = \frac{- 2 i}{2} = - i이므로 (z‾z)2n+(z2)2n=(−1)n+(−i)n\displaystyle \left( \frac{{\overline{z}}}{z} \right) ^{2 n} + \left( \frac{z}{\sqrt{2}} \right) ^{2 n} = \left( - 1 \right) ^{n} + \left( - i \right) ^{n} (−1)n+(−i)n=0\left( - 1 \right) ^{n} + \left( - i \right) ^{n} = 0에서 음이 아닌 정수 kk에 대하여 n=4k+1n = 4 k + 1일 때, (−1)n+(−i)n=−1−i\left( - 1 \right) ^{n} + \left( - i \right) ^{n} = - 1 - i n=4k+2n = 4 k + 2일 때, (−1)n+(−i)n=0\left( - 1 \right) ^{n} + \left( - i \right) ^{n} = 0 n=4k+3n = 4 k + 3일 때, (−1)n+(−i)n=−1+i\left( - 1 \right) ^{n} + \left( - i \right) ^{n} = - 1 + i n=4k+4n = 4 k + 4일 때, (−1)n+(−i)n=2\left( - 1 \right) ^{n} + \left( - i \right) ^{n} = 2 따라서 n=2n = 2, 66, 1010이므로 합은 1818

태그

#복소수#켤레복소수#주기

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