공통수학1복소수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

복소수 거듭제곱

문제

복소수 z=1−iz = 1 - i에 대하여 (1z−1z‾)n=(z−1)i\displaystyle \left( \frac{1}{z} - \frac{1}{{\overline{z}}} \right) ^{n} = \left( z - 1 \right) i 를 만족시키는 5050 이하의 자연수 nn의 개수는? (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}이고, z‾\displaystyle {\overline{z}}는 zz의 켤레복소수이다.) [4점] ①1111②1212③1313④1414⑤1515

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②

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해설

z=1−iz = 1 - i이므로 (1z−1z‾)n=(z‾−zzz‾)n=in\displaystyle \left( \frac{1}{z} - \frac{1}{{\overline{z}}} \right) ^{n} = \left( \frac{{\overline{z}} - z}{z {\overline{z}}} \right) ^{n} = i ^{n} (z−1)i=1\left( z - 1 \right) i = 1 in=1i ^{n} = 1을 만족시키는 5050 이하의 자연수 nn은 44, 88, 1212, ⋯\cdots, 4848이므로 nn의 개수는 1212

태그

#복소수#켤레복소수#거듭제곱

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