복소수 분수식의 자취

[출제의도] 복소수의 상등을 이용하여 문제 해결하기 $\displaystyle a + b i = \frac{x + i}{x - i}$이므로 $( x - i ) ( a + b i ) = x + i$ 이다. 전개하면, $( a - 1 ) x + b + ( b x - ( a + 1 ) ) i = 0$ $( a - 1 ) x + b = 0$, $b x - ( a + 1 ) = 0$ 이고, $\displaystyle x = \frac{- b}{a - 1} = \frac{a + 1}{b}$ 이므로 $a ^{2} + b ^{2} = 1 ( \text{단} , a \ne \pm 1 , b \ne 0 )$ 이다. [별해] $\displaystyle \frac{x + i}{x - i} = \frac{( x + i ) ^{2}}{( x - i ) ( x + i )} = \frac{x ^{2} - 1 + 2 x i}{x ^{2} + 1}$ $\displaystyle = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 1} + \frac{2 x}{x ^{2} + 1} i = a + bi$이므로, 복소수 상등에 의하여 $\displaystyle a = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 1} , b = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$이다. 따라서 $\displaystyle a ^{2} + b ^{2} = \frac{( x ^{2} - 1 ) ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} + \frac{4 x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = 1$ 이다. $b \not = 0$이므로 $( 1 , 0 ) , ( - 1 , 0 )$은 제외된다. 따라서 $( a , b )$의 영역은

이다.