빈칸 추론 빗변 범위

[출제의도] 이차방정식의 판별식을 이용하여 부등식 문제 해결하기 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = a$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{CA}}} = b$라 하면 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 둘레의 길이가 $10$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = c$이므로 $a + b = {\square {{} ^{} 10 - c _{}}} \cdots \cdots \text{㉠}$ 이다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 직각삼각형이므로 $a ^{2} + b ^{2} = c ^{2}$에서 $( a + b ) ^{2} - 2 ab = c ^{2} \cdots \cdots \text{㉡}$ 이다. ㉠을 ㉡에 대입하면 $( 10 - c ) ^{2} - 2 ab = c ^{2}$에서 $ab = {\square {{}^{} 50 - 10 c _{}}}$이다. $a$, $b$를 두 실근으로 가지고 이차항의 계수가 $1$인 $x$에 대한 이차방정식은 $x ^{2} - \left( {\square {{}^{} 10 - c _{}}} \right) x + ( {\square {{}^{} 50 - 10 c _{}}} ) = 0 \cdots \cdots \text{㉢}$ 이고 ㉢의 판별식 $D \geq 0$이다. 빗변의 길이 $c$는 양수이므로 부등식 $D \geq 0$의 해를 구하면 $D = \left( 10 - c \right) ^{2} - 4 \left( 50 - 10 c \right)$$= c ^{2} + 20 c - 100 \geq 0$ 에서 $\displaystyle c \leq \mathit{-} 10 - 10 \sqrt{2}$ 또는 $\displaystyle c \geq \mathit{-} 10 + 10 \sqrt{2}$이고 $\displaystyle c \geq {\square {{} ^{} 10 ( \sqrt{2} - 1 ) _{}}}$이다. ㉢의 두 실근 $a$, $b$는 모두 양수이므로 두 근의 합 ${\square {{}^{} 10 - c _{}}}$와 곱 ${\square {{}^{} 50 - 10 c _{}}}$는 모두 양수이다. 따라서 빗변의 길이 $c$의 범위는 $\displaystyle {\square {{}^{} 10 ( \sqrt{2} - 1 ) _{}}} \leq c < 5$이다. $f \left( c \right) = 10 - c$, $g \left( c \right) = 50 - 10 c$, $\displaystyle k = 10 \left( \sqrt{2} - 1 \right)$ 이므로 $\displaystyle \frac{k}{25} \times f \left( \frac{9}{2} \right) \times g \left( \frac{9}{2} \right)$$\displaystyle = \frac{10 \left( \sqrt{2} - 1 \right)}{25} \times \left( 10 - \frac{9}{2} \right) \times \left( 50 - 10 \times \frac{9}{2} \right)$ $\displaystyle = 11 ( \sqrt{2} - 1 )$ 이다.