벡터로 정의된 자취와 내적

한 변의 길이가 $4$인 정사각형 $\mathrm{ABCD}$에서 선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하자. $\mathrm{\vec{XB}} - \vec{XC} = \vec{CB}$ 이므로 $\left| \mathrm{\vec{XB}} + \vec{XC} \right| = 4$ , $\displaystyle \mathrm{\left| \frac{\vec{XB} + \vec{XC}}{2} \right|} = 2$ $\mathrm{\left| \vec{XM} \right|} = 2$ 점 $\mathrm{X}$는 중심이 $\mathrm{M}$이고 반지름의 길이가 $2$인 원 위의 점이다. 이때, 점 $\mathrm{B}$를 원점으로 하고, 직선 $\mathrm{BC}$를 $x$축, 직선 $\mathrm{BA}$를 $y$축으로 하면 $\mathrm{M} \left( 2 , 0 \right)$이므로 도형 $S$의 방정식은 $S : \left( x - 2 \right) ^{2} + y ^{2} = 4$ 이 원 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 선분 $\mathrm{BD}$를 $2 : 1$로 내분하는 점을 $\mathrm{E}$라 할 때 $\displaystyle \mathrm{E} \left( \frac{8}{3} , \frac{8}{3} \right)$이고, $\displaystyle \mathrm{\vec{PE}} = \frac{\vec{PB} + 2 \vec{PD}}{3}$이므로 $\mathrm{4} \vec{PQ} = \vec{PB} + 2 \vec{PD}$에서 $\mathrm{4} \vec{PQ} = 3 \vec{PE}$ $\mathrm{4} \left( \vec{EQ} - \vec{EP} \right) = 3 \vec{PE}$, $\mathrm{4} \vec{EQ} = \vec{EP}$ $\therefore$ $\displaystyle \mathrm{\vec{EQ}} = \frac{1}{4} \vec{EP}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이때 선분 $\mathrm{EM}$을 $1 : 3$으로 내분하는 점을 $\mathrm{F}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\left( \frac{3 \times \frac{8}{3} + 2}{3 + 1} , \frac{3 \times \frac{8}{3}}{3 + 1} \right)}$, $\displaystyle \mathrm{F} \left( \frac{5}{2} , 2 \right)$ 따라서 점 $\mathrm{P}$는 점 $\mathrm{M}$을 중심으로 반지름의 길이가 $2$인 원 위를 움직이므로 ㉠에 의하여 점 $\mathrm{Q}$는 점 $\mathrm{F}$를 중심으로 반지름의 길이가 $\displaystyle \frac{1}{2}$인 원 위를 움직인다. 점 $\mathrm{Q}$의 자취를 $T$라 하면 아래 그림과 같다.

$\displaystyle T : \left( x - \frac{5}{2} \right) ^{2} + \left( y - 2 \right) ^{2} = \frac{1}{4}$ 점 $\mathrm{A} \left( 0 , 4 \right)$에 대하여 $\mathrm{\vec{AC}} = \left( 4 , - 4 \right)$, $\displaystyle \mathrm{\vec{AE}} = \left( \frac{5}{2} , - 2 \right)$ 이므로 $\mathrm{\vec{AC}} \bullet \vec{AQ}$$\mathrm{=} \vec{AC} \bullet \left( \vec{AF} + \vec{FQ} \right)$ $\mathrm{=} \vec{AC} \bullet \vec{AF} + \vec{AC} \bullet \vec{FQ}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ $\mathrm{\vec{AC}} \bullet \vec{AF}$$\displaystyle = \left( 4 , - 4 \right) \bullet \left( \frac{5}{2} , - 2 \right)$ $= 10 + 8$$= 18$ $\displaystyle \mathrm{\left| \vec{AC} \right|} = 4 \sqrt{2}$, $\displaystyle \mathrm{\left| \vec{FE} \right|} = \frac{1}{2}$에서 $\displaystyle - 4 \sqrt{2} \times \frac{1}{2} \leq \mathrm{\vec{AC}} \bullet \vec{FQ} \leq 4 \sqrt{2} \times \frac{1}{2}$ $\displaystyle - 2 \sqrt{2} \leq \mathrm{\vec{AC}} \bullet \vec{FQ} \leq 2 \sqrt{2}$ 이므로 ㉡에서 $\displaystyle 18 - 2 \sqrt{2} \leq \mathrm{\vec{AC}} \bullet \vec{AQ} \leq 18 + 2 \sqrt{2}$ 따라서 $\displaystyle M = 18 + 2 \sqrt{2}$, $\displaystyle m = 18 - 2 \sqrt{2}$이므로 $M m$$\displaystyle = 18 ^{2} - \left( 2 \sqrt{2} \right) ^{2}$ $= 316$ [다른 풀이] $\left| \mathrm{\vec{XB}} + {\vec{XC}} \right| = \left| \mathrm{\vec{XB}} - {\vec{XC}} \right|$에서 양변을 제곱하면 $\mathrm{\vec{XB}} \bullet {\vec{XC}} = 0$ 그러므로 점 $\mathrm{X}$는 점 $\mathrm{B}$와 점 $\mathrm{C}$를 지름의 양 끝점으로 하는 원 $S$ 위의 점이다. $\mathrm{4} {\vec{PQ}} = {\vec{PB}} + 2 {\vec{PD}}$에서 $\mathrm{\vec{PQ}}$$\displaystyle = \frac{\mathrm{1}}{4} \left( {\vec{PB}} + 2 {\vec{PD}} \right)$$\displaystyle = \frac{\mathrm{1}}{4} \times 3 \times \left( \frac{1}{3} {\vec{PB}} + \frac{2}{3} {\vec{PD}} \right)$ 선분 $\mathrm{BD}$를 $2 : 1$로 내분하는 점을 점 $\mathrm{E}$라 하면 $\mathrm{\vec{PQ}}$$\displaystyle = \frac{\mathrm{3}}{4} {\vec{PE}}$ 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$와 정사각형의 대각선의 교점을 점 $\mathrm{O}$, 원 $S$의 중심인 선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 점 $\mathrm{M}$이라 하고, 점 $\mathrm{Q}$가 이루는 도형을 $S'$라 하면 다음 그림과 같다.

원 $S$의 중심이 점 $\mathrm{M}$이므로 원 $S'$는 중심이 점 $\mathrm{M}$과 점 $\mathrm{E}$를 $3 : 1$로 내분하는 점 $\mathrm{M}'$이 중심이고 반지름이 원 $S$의 반지름의 $\displaystyle \frac{1}{4}$인 원이다. 원 $S$의 반지름이 $2$이므로 원 $S'$의 반지름은 $\displaystyle \frac{1}{2}$이다. 점 $\mathrm{M}'$에서 선분 $\mathrm{AC}$에 평행한 직선과 원 $S'$의 교점을 점 $\mathrm{A}$에서 먼 점을 점 $\mathrm{Q} _{1}$, 가까운 점을 점 $\mathrm{Q} _{2}$라 하자. 점 $\mathrm{Q}$가 원 $S'$ 위를 움직이므로 $\mathrm{\vec{AC}} \bullet {\vec{AQ}}$의 최댓값은 $\mathrm{\vec{AC}} \bullet {\vec{AQ _{1}}}$이고 최솟값은 $\mathrm{\vec{AC}} \bullet {\vec{AQ _{2}}}$이다. 점 $\mathrm{Q} _{1}$의 직선 $\mathrm{AC}$ 위로의 정사영을 점 $\mathrm{Q} _{1}'$, 점 $\mathrm{Q} _{2}$의 직선 $\mathrm{AC}$ 위로의 정사영을 점 $\mathrm{Q} _{2}'$라 할 때 $\mathrm{\vec{AC}} \bullet {\vec{AQ _{1}}}$$= \mathrm{\left| {\vec{AC}} \right|} \times \left| {\vec{AQ _{1}}}' \right|$, $\mathrm{\vec{AC}} \bullet {\vec{AQ _{2}}}$$= \mathrm{\left| {\vec{AC}} \right|} \times \left| {\vec{AQ _{2}}}' \right|$

위 그림에서 삼각형 $\mathrm{EFM}'$과 삼각형 $\mathrm{EGM}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{EM'}} : {\overline{EM}} = 1 : 4$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{FM'}} : {\overline{GM}} = 1 : 4$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{GM}} = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{2} = \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{FM'}} = \frac{1}{4} \sqrt{2}$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ _{1}'}} = 2 \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ _{2}'}} = 2 \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{2}$ $\mathrm{\vec{AC}} \bullet {\vec{AQ _{1}}}$$= \mathrm{\left| {\vec{AC}} \right|} \times \left| {\vec{AQ _{1}'}} \right|$$\displaystyle = 4 \sqrt{2} \times \left( \frac{9 \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \right)$, $\mathrm{\vec{AC}} \bullet {\vec{AQ _{2}}}$$= \mathrm{\left| {\vec{AC}} \right|} \times \left| {\vec{AQ _{2}'}} \right|$$\displaystyle = 4 \sqrt{2} \times \left( \frac{9 \sqrt{2}}{4} - \frac{1}{2} \right)$ $\therefore M \times m$$\displaystyle = \left( 4 \sqrt{2} \right) ^{2} \times \left\{ \left( \frac{9 \sqrt{2}}{4} \right) ^{2} - \frac{1}{4} \right\}$ $\displaystyle = 32 \times \left( \frac{81}{8} - \frac{1}{4} \right)$ $= 4 \times 81 - 8$$= 316$