벡터 내적의 최솟값

$2 \mathrm{\vec{BE}} = \mathrm{3} \vec{BC} - \vec{BA}$에서 $\displaystyle \mathrm{\vec{BE}} = \frac{\mathrm{3 \vec{BC} - \vec{BA}}}{3 - 1}$ 따라서 $\mathrm{\vec{BE}}$는 $\mathrm{\vec{BA}}$와 $\mathrm{\vec{BC}}$를 $3 : 1$로 외분하는 벡터이므로 점 $\mathrm{E}$의 위치는 다음과 같다. 점 $\mathrm{A}$와 점 $\mathrm{D}$를 선분 $\mathrm{BC}$에 대하여 대칭이동한 점을 각각 $\mathrm{F}$, $\mathrm{G}$라 하고, 선분 $\mathrm{BC}$ 위의 점 $\mathrm{P}$에서 선분 $\mathrm{FG}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{R}$이라 하면 $\mathrm{\vec{AB}} = \mathrm{\vec{PR}}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이때 $\mathrm{\vec{PQ}} \bullet \left( \vec{PQ} - \vec{AB} \right) = 0$에서 $\mathrm{\vec{PQ}} \bullet \left( \vec{PQ} - \vec{PR} \right) = 0$, $\mathrm{\vec{PQ}} \bullet \vec{RQ} = 0$ $\therefore$ $\mathrm{\vec{PQ}} \perp \vec{RQ}$ 따라서 점 $\mathrm{Q}$는 선분 $\mathrm{PR}$을 지름으로 하는 원 위에 존재한다. $\angle \mathrm{CAB} \mathit{=} \theta$라 하면 $\displaystyle \cos \theta = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$\mathrm{\vec{AE}} \bullet \vec{AQ}$의 값은 위의 그림에서 점 $\mathrm{P}$가 점 $\mathrm{B}$에 위치하고 이때의 원의 중심이 $\mathrm{K}$라 할 때 $\mathrm{\vec{KQ}}$가 $\mathrm{\vec{AE}}$와 평행하고 방향이 반대일 때 최소가 된다. 이때의 점 $\mathrm{Q}$를 $\mathrm{Q}'$라 하면 $\mathrm{\vec{AE}} \bullet \vec{AQ}$$\geq \mathrm{\vec{AE}} \bullet \vec{AQ'}$ $\mathrm{\vec{AE}} \bullet \vec{AQ'}$$= \mathrm{\vec{AE}} \bullet \left( \vec{AK} + \vec{KQ'} \right)$ $= \mathrm{\vec{AE}} \bullet \vec{AK} + \vec{AE} \bullet \vec{KQ'}$ $= \left| {\vec{\mathrm{AE}}} \right| \times \left| {\vec{\mathrm{AK}}} \right| \times \cos \theta$$+ \left| {\vec{\mathrm{AE}}} \right| \times \left| {\vec{\mathrm{KQ}'}} \right| \mathit{\times} \cos 180 ^\circ$ $\displaystyle = 15 \times 9 \times \frac{3}{5} + 15 \times 3 \times \left( - 1 \right)$ $= 81 - 45 = 36$ 따라서 $\mathrm{\vec{AE}} \bullet \vec{AQ}$의 최솟값은 $36$