벡터 내적 정삼각형 증명

다음은 $\mathrm{\triangle} ABC$에서 $\vec{\mathrm{B} C} = \vec{a}$, ${\vec{\mathrm{C} A}} = \vec{b}$, ${\vec{\mathrm{A} B}} = \vec{c}$라 할 때, $( \vec{b} \cdot \vec{c} ) \vec{a} + ( \vec{c} \cdot \vec{a} ) \vec{b} + ( \vec{a} \cdot \vec{b} ) \vec{c} = \vec{0}$ 이면 $\mathrm{\triangle} ABC$는 정삼각형임을 증명한 것이다. (단, $\vec{x} \cdot \vec{y}$ 는 두 벡터 $\vec{x} , \vec{y}$의 내적이다.)

$\vec{c} = \square {( \text{가} )}$를 주어진 조건식에 대입하여 정리하면 $( \vec{b} \cdot \square {( \text{가} )}$ $) \vec{a} +$$( \square {\text{가} )} \cdot \vec{a} ) \vec{b} + ( \vec{a} \cdot \vec{b} ) \square {( \text{가} )}$ $= ( \square {( \text{나} )} - \vec{b} \cdot \vec{b} ) \vec{a} +$$( \square {( \text{나} )} - \vec{a} \cdot \vec{a} ) \vec{b} = \vec{0}$ $\vec{a}$와 $\vec{b}$는 평행하지 않으므로 $\displaystyle {\begin{cases} & \square {( \text{나} )} - \vec{b} \cdot \vec{b} = 0 \\ & \\ & \square {( \text{나} )} - \vec{a} \cdot \vec{a} = 0 \end{cases}}$ 위의 두 식에서 $\vec{a} \cdot \vec{a} = \vec{b} \cdot \vec{b}$ ∴ $\left| \vec{a} \right| = \left| \vec{b} \right|$ 같은 방법으로, $\vec{b} = \square {( \text{다} )}$ 를 주어진 조건식에 대입하여 정리하면 $\left| \vec{a} \right| = \left| \vec{c} \right|$가 얻어진다. 따라서 $\mathrm{\triangle} ABC$는 정삼각형이다.

위의 증명에서 $\left( {\text{가}} \right)$, $\left( {\text{나}} \right)$, $\left( {\text{다}} \right)$에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) (다) ①$- \vec{a} - \vec{b}$ $- 2 \vec{a} \cdot \vec{b}$ $- \vec{a} - \vec{c}$②$\vec{a} + \vec{b}$ $- 2 \vec{a} \cdot \vec{b}$ $\vec{a} + \vec{c}$③$\vec{a} + \vec{b}$ $\vec{a} \cdot \vec{b}$ $- \vec{a} - \vec{c}$④$- \vec{a} - \vec{b}$ $- \vec{a} \cdot \vec{b}$ $\vec{a} + \vec{c}$⑤$\vec{a} - \vec{b}$ $2 \vec{a} \cdot \vec{b}$ $- \vec{a} - \vec{c}$