기하평면벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

벡터 내적 최댓값

문제

좌표평면 위의 두 점 A(6,0),B(8,6)\mathrm{A} ( 6 , 0 ) , B ( 8 , 6 )에 대하여 점 P\mathrm{P}가 ∣PA⃗+PB⃗∣=10\displaystyle \mathrm{\left| \vec{PA} + \vec{PB} \right|} = \sqrt{10} 을 만족시킨다. OB⃗⋅OP⃗\mathrm{\vec{OB}} \cdot \vec{OP}의 값이 최대가 되도록 하는 점 P\mathrm{P}를 Q\mathrm{Q}라 하고, 선분 AB\mathrm{AB}의 중점을 M\mathrm{M}이라 할 때, OA⃗⋅MQ⃗\mathrm{\vec{OA}} \cdot \vec{MQ}의 값은? (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [4점]

①6105\displaystyle \frac{6 \sqrt{10}}{5}②9105\displaystyle \frac{9 \sqrt{10}}{5}③12105\displaystyle \frac{12 \sqrt{10}}{5}④310\displaystyle {3 \sqrt{10}}⑤18105\displaystyle \frac{18 \sqrt{10}}{5}

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③

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해설

P(x,y){\mathrm{P}} ( x , y )라 하면 ∣PA⃗+PB⃗∣=10\displaystyle \left| \vec{\mathrm{PA}} + \vec{\mathrm{PB}} \right| = \sqrt{10} (x−7)2+(y−3)2=(102)2\displaystyle ( x - 7 ) ^{2} + ( y - 3 ) ^{2} = \left( \frac{\sqrt{10}}{2} \right) ^{2} 점 Q\mathrm{Q}는 이 원 위의 점이며 OB⃗⋅OP⃗\vec{\mathrm{OB}} \cdot \vec{\mathrm{OP}}가 최대인 P\mathrm{P}가 Q\mathrm{Q}이므로 MP⃗//OB⃗\vec{\mathrm{MP}} / / \vec{\mathrm{OB}} MQ⃗\vec{\mathrm{MQ}}와 OA⃗\vec{\mathrm{OA}}가 이루는 각은 OB⃗\vec{\mathrm{OB}}와 OA⃗\vec{\mathrm{OA}}가 이루는 각과 같다. OB⃗\vec{\mathrm{OB}}와 OA⃗\vec{\mathrm{OA}}가 이루는 각을 θ\theta라 하면 OA⃗⋅MQ⃗=∣OA⃗∣∣MQ⃗∣cos⁡θ\vec{\mathrm{OA}} \cdot \vec{\mathrm{MQ}} = \left| \vec{\mathrm{OA}} \right| \left| \vec{\mathrm{MQ}} \right| \cos \theta =6⋅102⋅810\displaystyle = 6 \cdot {\frac{\sqrt{10}}{2} \cdot \frac{8}{10}} =12105\displaystyle = \frac{12 \sqrt{10}}{5}

태그

#벡터의 내적#원#최댓값

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