벡터 조건 점의 집합

[출제의도] 벡터로 표현된 직선과 원의 방정식을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 점을 구할 수 있는가 점 $\mathrm{X}$의 좌표를 $\left( x , y \right)$라 하자. 조건 (가)에서 $\left( \mathrm{\vec{OX}} - {\vec{OD}} \right) {\cdot} {\vec{OC}} = 0$ $\cdots \cdots$ ㉠ 또는 $\left| \mathrm{\vec{OX}} - {\vec{OC}} \right| - 3 = 0$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠에서 $\mathrm{\vec{DX}} {\cdot} {\vec{OC}} = 0$에서 $\mathrm{\vec{DX}} {\perp} \mathrm{\vec{OC}}$이므로 점 $\mathrm{X}$는 점 $\mathrm{D} \left( 8 , 6 \right)$을 지나고 벡터 $\mathrm{\vec{OC}} = \left( 4 , 4 \right)$에 수직인 직선 위의 점이다. 즉, 점 $\mathrm{X}$는 직선 $l : y = \mathit{-} x + 14$ 위의 점이다. ㉡에서 $\left| \mathrm{\vec{CX}} \right| = 3$이므로 점 $\mathrm{X}$는 점 $\mathrm{C} \left( 4 , 4 \right)$를 지나고 반지름의 길이가 $3$인 원, 즉 $\left( x - 4 \right) ^{2} + \left( y - 4 \right) ^{2} = 9$ 위의 점이다. 조건 (나)를 만족시키는 점 $\mathrm{X}$를 다음과 같이 경우를 나누어 생각하자. (ⅰ) 점 $\mathrm{X}$가 직선 $l$ 위에 있는 경우 점 $\mathrm{A}$를 지나고 직선 $\mathrm{OC}$와 평행한 직선이 직선 $l$과 만나는 점을 $\mathrm{E}$, 점 $\mathrm{B}$를 지나고 직선 $\mathrm{OC}$와 평행한 직선이 직선 $l$과 만나는 점을 $\mathrm{F}$라 하자.

선분 $\mathrm{EF}$ 위의 임의의 점 $\mathrm{X}$에 대하여 점 $\mathrm{X}$를 지나고 직선 $\mathrm{OC}$와 평행한 직선이 선분 $\mathrm{AB}$와 만나는 점을 $\mathrm{X}'$이라 하면 점 $\mathrm{P}$가 점 $\mathrm{X}'$과 일치할 때 두 벡터 $\mathrm{\vec{PX}}$, $\mathrm{\vec{OC}}$는 평행하므로 조건 (나)를 만족시킨다. 직선 $l$ 위의 점 중에서 선분 $\mathrm{EF}$ 위에 있지 않은 점 $\mathrm{X}$에 대하여는 선분 $\mathrm{AB}$ 위의 임의의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 두 벡터 $\mathrm{\vec{PX}}$, $\mathrm{\vec{OC}}$가 평행할 수 없으므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. 즉, 점 $\mathrm{X}$의 $y$좌표가 최대인 경우는 점 $\mathrm{X}$가 점 $\mathrm{E} \left( 5 , 9 \right)$와 일치하는 경우이고, 점 $\mathrm{X}$의 $y$좌표가 최소인 경우는 점 $\mathrm{X}$가 점 $\mathrm{F} \left( 9 , 5 \right)$와 일치하는 경우이다. (ⅱ) 점 $\mathrm{X}$가 원 $\left( x - 4 \right) ^{2} + \left( y - 4 \right) ^{2} = 9$ 위에 있는 경우

그림과 같이 원이 점 $\mathrm{A}$를 지나고 직선 $\mathrm{OC}$와 평행한 직선과 만나는 두 점을 $\mathrm{G}$, $\mathrm{H}$라 하고, 원이 점 $\mathrm{B}$를 지나고 직선 $\mathrm{OC}$와 평행한 직선과 만나는 두 점을 $\mathrm{I}$, $\mathrm{J}$라 하자. 호 $\mathrm{JH}$ 또는 호 $\mathrm{GI}$ 위의 임의의 점 $\mathrm{X}$에 대하여 점 $\mathrm{X}$를 지나고 직선 $\mathrm{OC}$와 평행한 직선이 선분 $\mathrm{AB}$와 만나는 점을 $\mathrm{X}'$이라 하면 점 $\mathrm{P}$가 점 $\mathrm{X}'$과 일치할 때 두 벡터 $\mathrm{\vec{PX}}$, $\mathrm{\vec{OC}}$는 평행하므로 조건 (나)를 만족시킨다. 원 위의 점 중에서 호 $\mathrm{JH}$ 위에도 있지 않고 호 $\mathrm{GI}$ 위에도 있지 않은 점 $\mathrm{X}$에 대하여는 선분 $\mathrm{AB}$ 위의 임의의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 두 벡터 $\mathrm{\vec{PX}}$, $\mathrm{\vec{OC}}$가 평행할 수 없으므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. 즉, 원 $\left( x - 4 \right) ^{2} + \left( y - 4 \right) ^{2} = 9$ 위의 점 중에서 $y$좌표가 가장 큰 점을 $\mathrm{K}$, $y$좌표가 가장 작은 점을 $\mathrm{L}$이라 하면 점 $\mathrm{X}$의 $y$좌표가 최대인 경우는 점 $\mathrm{X}$가 점 $\mathrm{K} \left( 4 , 7 \right)$과 일치하는 경우이고, 점 $\mathrm{X}$의 $y$좌표가 최소인 경우는 점 $\mathrm{X}$가 점 $\mathrm{L} \left( 4 , 1 \right)$과 일치하는 경우이다. (ⅰ), (ⅱ)에서 두 점 $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$는 각각 $\mathrm{Q} \left( 5 , 9 \right)$, $\mathrm{R} \left( 4 , 1 \right)$이다. 따라서 $\mathrm{\vec{OQ}} {\cdot} {\vec{OR}}$$= \left( 5 , 9 \right) {\cdot} \left( 4 , 1 \right)$ $= 5 \times 4 + 9 \times 1$ $= 29$