미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

반원 넓이 함수 적분

문제

그림과 같이 길이가 22인 선분 AB\mathrm{A} B 위의 점 P\mathrm{P}를 지나고 선분 AB\mathrm{A} B에 수직인 직선이 선분 AB\mathrm{A} B를 지름으로 하는 반원과 만나는 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. A‾P=x\displaystyle {\overline{\mathrm{A}} P} = x라 할 때, S(x)S ( x )를 다음과 같이 정의한다. 0<x<20 < x < 2일 때 S(x)S ( x )는 두 선분 AP\mathrm{A} P, PQ\mathrm{P} Q와 호 AQ\mathrm{A} Q로 둘러싸인 도형의 넓이이고, x=2x = 2일 때 S(x)S ( x )는 선분 AB\mathrm{A} B를 지름으로 하는 반원의 넓이이다. ∫π434π{S(1+sin⁡θ)−S(1+cos⁡θ)}dθ\displaystyle \int _{\frac{\pi}{4}} ^{\frac{3}{4} \pi} \left\{ S ( 1 + \sin \theta ) - S ( 1 + \cos \theta ) \right\} d \theta=p+qπ2= p + q \pi ^{2} 일 때, 30pq\displaystyle \frac{30 p}{q}의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 유리수이다.) [4점]

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80

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해설

[출제의도] 함수를 구하여 정적분과 관련된 문제를 해결한다.

S(x)=∫0x1−(t−1)2dt\displaystyle S \left( x \right) = \int _{0} ^{x} {\sqrt{1 - \left( t - 1 \right) ^{2}}} dt이므로 S′(x)=1−(x−1)2\displaystyle S' \left( x \right) = \sqrt{1 - \left( x - 1 \right) ^{2}} f(θ)=S(1+sin⁡θ)−S(1+cos⁡θ)f ( \theta ) = S \left( 1 + \sin \theta \right) - S \left( 1 + \cos \theta \right)라 하면 f′(θ)\left. f' ( \theta \right)=S′(1+sin⁡θ)cos⁡θ+S′(1+cos⁡θ)sin⁡θ= S' \left( 1 + \sin \theta \right) \cos \theta + S' \left( 1 + \cos \theta \right) \sin \theta =1−sin⁡2θcos⁡θ+1−cos⁡2θcos⁡θ\displaystyle = \sqrt{1 - \sin ^{2} \theta} \cos \theta + \sqrt{1 - \cos ^{2} \theta} \cos \theta=∣cos⁡θ∣cos⁡θ+∣sin⁡θ∣sin⁡θ= \left| \cos \theta \right| \cos \theta + \left| \sin \theta \right| \sin \theta (ⅰ) 0≤θ<π2\displaystyle 0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}일 때, f′(θ)=cos⁡2θ+sin⁡2θf' \left( \theta \right) = \cos ^{2} \theta + \sin ^{2} \theta=1= 1이므로 f(θ)=θ+C1f \left( \theta \right) = \theta + C _{1} (C1C _{1}은 적분상수) f(0)=S(1)−S(2)f \left( 0 \right) = S \left( 1 \right) - S \left( 2 \right)=−π4\displaystyle = \mathit{-} \frac{\pi}{4}이므로 C1=−π4\displaystyle C _{1} = \mathit{-} \frac{\pi}{4} 따라서 f(θ)=θ−π4\displaystyle f \left( \theta \right) = \theta - \frac{\pi}{4} (ⅱ) π2≤θ<π\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq \theta < \pi일 때, f′(θ)f' \left( \theta \right)=−cos⁡2θ+sin⁡2θ= \mathit{-} \cos ^{2} \theta + \sin ^{2} \theta=−cos⁡2θ= \mathit{-} \cos 2 \theta이므로 f(θ)=−12sin⁡2θ+C2\displaystyle f \left( \theta \right) = \mathit{-} \frac{1}{2} \sin 2 \theta + C _{2} (C2C _{2}는 적분상수) f(π2)=S(2)−S(1)\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right) = S \left( 2 \right) - S \left( 1 \right)=π4\displaystyle = {\frac{\pi}{4}}이므로 C2=π4\displaystyle C _{2} = \frac{\pi}{4} 따라서 f(θ)=−12sin⁡2θ+π4\displaystyle f \left( \theta \right) = \mathit{-} \frac{1}{2} \sin 2 \theta + \frac{\pi}{4} (ⅰ), (ⅱ)에 의해 y=f(θ)y = f ( \theta )의 구간 [π4,34π]\displaystyle \left[ \frac{\pi}{4} , \frac{3}{4} \pi \right]에서의 그래프는 그림의 실선 부분이다.

∫π434πf(θ)dθ\displaystyle \int _{\frac{\pi}{4}} ^{\frac{3}{4} \pi} {f \left( \theta \right)} d \theta=∫π4π2(θ−π4)dθ+∫π234π(−12sin⁡2θ+π4)dθ\displaystyle = \int _{\frac{\pi}{4}} ^{\frac{\pi}{2}} {\left( \theta - \frac{\pi}{4} \right)} d \theta + \int _{\frac{\pi}{2}} ^{\frac{3}{4} \pi} {\left( - \frac{1}{2} \sin 2 \theta + \frac{\pi}{4} \right)} d \theta =[12θ2−π4θ]π4π2+[14cos⁡2θ+π4θ]π234π\displaystyle = \left[ \frac{1}{2} \theta ^{2} - \frac{\pi}{4} \theta \right] _{\frac{\pi}{4}} ^{\frac{\pi}{2}} + \left[ \frac{1}{4} \cos 2 \theta + \frac{\pi}{4} \theta \right] _{\frac{\pi}{2}} ^{\frac{3}{4} \pi} =14+332π2\displaystyle = \frac{1}{4} + \frac{3}{32} \pi ^{2} 따라서 p=14\displaystyle p = \frac{1}{4}, q=332\displaystyle q = \frac{3}{32}이므로 30pq\displaystyle \frac{30 p}{q}=80= 80

태그

#정적분#치환적분#삼각함수

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